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1、专题 解排列组合应用题的常用策略 1、相邻排列捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法由乘法原理得符合条件的排列，共种例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种1、解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？2、解：先把3名女生作为
2、一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种故合题意的排法有种2.相离排列插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？3、解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法例4.七位同学并排站成一行
3、，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种4、解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.变式：一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。变式 3、定序问题-倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一故符合条件的排列共
4、种例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种5、解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？6、解：5个不同元素排列一列，共有种排法 A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为因此，符合条件的排列法为种4、标号排位问题-分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为
5、1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种7、解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.5、有序分配问题-逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例8.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）学生会的12名同学分配到三个不
6、同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级4人，则不同的分配方案有（ ）A、种 B、种 C、种 D、种8、（1）解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.（2）答案：先从12人中选出4人到第一个年级，再从剩下的8人中选4人到第二个年级，第三步从剩下的4人中选4人到第三个年级，不同的选法共有种，选.6、平均分堆问题-除序法:例9. 12本不同的书，平均分为3堆，不同的分法种数为多少种。9、解：先从12本书中选出4本到第一堆，再从剩下的8本中选出4本到第二堆，第三步从剩下的4本中选4本到第三堆，但题中
7、是不要堆序，所以不同的分法共有种。7、全员分配问题-分组法:例10.（1）4名优秀学生全部保送到3所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种10、（1）解析：先分组再分配。把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所大学有种，故共有种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）答案：.8、名额分配问题-隔板法:例11：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？11、解析：10个
8、名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为9、限制条件的分配问题-分类法:例12. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？12、解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，再在每类中进行安排工作，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，
9、则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种先分类再分步10、多元问题-分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例13（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种（2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？13、（1）解
10、析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.(2)解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.(3)解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个
11、数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.先分类再分步11、交叉问题-集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例14. 从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？14、解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.12、定位问题-优先法：有限制条件，某个或几个元素要排在指定位置，通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素，再排其它的元素。若反面情况较为简单时，则用排除法求解例15. 乒乓球队的10名
12、队员中有3名主力队员，现要派5名参加比赛，3名主力队员均上场且安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答）15、解：由题意，先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有种；再安排其余7名队员选2名在第二、四位置有种；由乘法原理，得不同的出场安排共有种16、解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。例16. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？.13、多排问题-单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例17.（1）6个不同的元素排成前后两排，
13、每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？17、（1）解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.14、“至少”“至多”问题-间接排除法或分类法:例18.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有
14、 （ ）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种8、解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.15、选排问题-先取后排法：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例19.（1）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？19、（1）解析：先取四个球中二个为一
15、组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.（2）解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.16、部分合条件问题-排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例20.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种 B、147种 C、144种 D、141种20、（1）解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都
16、不能构成四面体，所以四面体实际共有个.（2）解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.构造模型，进行转化17、圆排问题-直排法：把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将
17、某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.例21. 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？21、解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.18、可重复的排列-求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例22.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？22、解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第
18、二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.要弄清是人选车间，还是车间选人，看哪个对象必须用完，则这一对象就是主元。19、元素个数较少的排列组合问题-枚举法：例23. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？23、解析：从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法
19、，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.20、复杂的问题-对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例24.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？AB（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？24、（1）解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的
20、弦相交于圆内的交点有个.（2）解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.21、区域涂色问题分步与分类综合法解答区域涂色问题，一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类以上三种方法常会结合起来使用。例25.用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 25、法1： 法2：例26、一个地区分5个区域,现用4种颜色给地图着色,要求相邻区域
21、不得使用同一种颜色,则不同的着色方法有多少种?23451，26法1.分步：涂有4种方法，涂有3种方法，涂有2种方法，涂有2种方法，涂时需看与是否相同，因此分两类。23451法2.按用了几种颜色分两类：涂了4色和3色22、复杂排列组合问题-构造模型法：例27.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？27、解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使
22、问题容易解决.23、复杂的排列组合问题-分解与合成法：例28.（1）30030能被多少个不同偶数整除？（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？28（1）解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.（2）解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有358=174对. 提高练习1、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数
23、之间,这样的五位数有多少个？解：把,，5当作一个小集团与排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.2、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？2、正难则反总体淘汰策略解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有3、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不
24、能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？3、构造模型策略解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种4、 25人排成55方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？4、化归策略解：将这个问题退化成9人排成33方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从33方队中选3人的方法有种。再从55方阵选出33方阵便可解决问题.从55方队中选取3行3列有选法所以从55方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个
25、问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题5、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？5、数字排序问题查字典策略解:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 6、人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_ 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果6、树图策略 递推关系 若经过第n 次传球传到甲，即为经过第n-1次传球不传到甲，每传一次球都有2种选择，
26、故经过n-1次传球，共有次传法，故有（），故数列是首项为，公比为的等比数列。7、（2011浙江9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A） （B） （C） D7、B 由古典概型的概率公式得8、 (2011全国7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种8、B本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有种；二是取出2本画册
27、,2本集邮册，此时赠送方法有种.故赠送方法共有10种.9、 (2011北京12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个。（用数字作答）9、 个数为10、（2010广东8）.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒10、
28、C.每次闪烁时间5秒，共5120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5（120-1）=595s总共就有600+595=1195s11、（2010全国6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种11、12、(2010重庆9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
29、12、分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法故共有1008种不同的排法13、（2010湖北8）.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每个从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.5413、B分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确.14、（2010浙江17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体
30、重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有_种（用数字作答）.14、解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题 26415、（2011湖北15）.给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示）15、 解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为，由图可知，由此推断，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案，故分别填.本材料第16页（共16页）