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1、专题四立体几何 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望/1 /.ABCDABEFABMACNFBAMFNMNBCE两个全等的正方形和所在平面相交于，且，求证：平面例2( )/()()/解决本题的关键在于找出平面内的一条直线和该平面外的一条直线平切入行，即线内线 外线 外面或转化为证两个平点： 面平行1/.MPBCNQBEPQMP ABNQ ABMP NQAMNFACBFMCNB方法 ：作， 、 分别为垂足则，又，证明：445RtRt/./.MCPNBQM
2、CPNBQMPNQMPQNMN PQPQBCEMNBCEMNBCE易知，故四边形为平行四边形，平面，平面，平面2/./.MMHABHMH BCAMAHACABFNAHNHBFACFNAMBFABNH AF BE方法 ：如图，过作于 ，则连接由，得，6/././.MH BCMHBCEBCBCEMHBCENHBCEMHNHMNHMHNHHMNHBCEMNBCE由，平面，平面，得平面同理，平面又，都在平面内，且，平面平面，平面1方法1利用线面平行的判定来证明；方法2采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行2方法2中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确找出MN所在平面是关键8111111(200
3、9)/.1ABCDABC DEFADABEFCB D惠州模拟 如图，在正方体中，、 分别为棱、的中点求证：平面变式91111111111111./././.BDACBDB DEFADABEFBDEFB DB DC B DEFC B DEFC B D连 接在 正 方 体中 ，又、分 别 为 棱、的 中 点 ，又平 面，平 面，平 面证 明 ：10111111111111(2009)/4,2,2,/.2ABCDABC DABCDAB CDABBCCDAAEEFADAAABEEFCCD ACBBCC山东卷改编 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，、 、 分别是棱、的中点，且直线平面证明：平面平面例1
4、1面面垂直问题一般转化为线面垂直关系来切入点：分析解决111111.4,260 .ABCDABC DCCABCDACABCDCCACABCDABBCFABCFCBBFBCFBFCBCF 在直棱柱中，平面，平面，因为底面为等腰梯形， 是棱的中点，为正三角形，证明： 11111111130 .306090.AFCFACFACFACBACFBCFACBCBCCCBBC CCACBBC CACD ACD ACBBC C 又，为等腰三角形，且易知，又与都在平面内且交于点 ，平面而平面，平面平面证明直线和平面垂直的方法主要有：(1)利用直线和平面垂直的定义；(2)利用直线和平面垂直的判定定理：m，na，m
5、n=A且lm，lnla；(3)利用第二判定定理：ab，aaba；(4)利用平面与平面平行的性质定理：ab，aaab；(5)利用平面与平面垂直的性质定理：ab，ba=l，aa，alab.15 11111111111111(2010)11.21/23ABCDABC DECCCCC EBCABD EACBD B EDCBD B AC深圳一模 如图，在长方体中，点 在棱的延长线上，且求证：平面；求证：平面平面；求四面变式 体2的体积-16 1111111111111111././.ADBCADBCB EAB EDD E ABABACBD EACBD EACB证明：连接， 四边形是平行四边形，则又平面，
6、平面，平面解析：17 2221111111111111111124.BCB ECEB EBCCDB BCEB EB BCECDB ECDBCCB EDCBB ED B ED B EDCB证明：由已知得，则由长方体的特征可知，平面而平面，则又，平面而平面， 平面平面 1111111111111131121124.3223ABCDA B C DAA B DBACBCB C DDACDD B ACVVVVVV 四面体的体积 (2010)22/901/323ABCDEFABCDABEFEF ABEFFBBFCBFFCHBCFHEDBACEDBBDEF安徽卷 如图，在多面体中，四边形是正方形， 为的中点
7、求证：平面；求证：平面；求四面体例的体积.20 1/23GEG FHFHEDBFHABCDFHBCFHACEGACACEDBBFCDEFBFBDEF设底面对角线的交点为 ，则可以通过证明，得平面； 利用线线、线面的平行与垂直关系，证明平面，得，进而得，平面； 证明平面，得为四面体的高，进而求切入点：体积 1./ .ACBDGGACEGGHHBCGH AB证明：设与交于点 ，则 为的中点，连接、由于 为的中点，故解析：221 /,2/./.EFABEFHGEG FHEGEDBFHEDBFHEDB又四边形为平行四边形，而平面，平面，平面 2./.ABCDABBCEFABEFBCEFFBFBBCBE
8、FBFCEFFHABFHBFFCHBCFHBCABBCBFHABCDFHACFH EGACEGACBDEGBDGACEDB证明：由四边形为正方形，有又，而，平面，又，为的中点，而，平面，又，平面 3902211122.1323B DEFEFFBBFCBFCDEFBFBDEFBCABBFFCV ，平面，为四面体的高又，1解决垂直和平行问题的方法需熟练掌握两类相互转化关系：(1)平行转化：线线平行线面平行面面平行；(2)垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直2本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析做此类题目需掌握解题的一般方法与技巧，同时会巧妙作辅助线26 1111111111111(
9、2010)()12/3.ABCA B CEFAAB CABCA B CA FEBCEBCEB C深圳二模 一个三棱柱的直观图和三视图如图所示 正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形 ，设 、分别为和的中点求三棱柱的体积；证明：平面；证明：平面平面变式3-27111111111(1)132.3 2.2 131ABCABCABCBBABCABCABBCABBCBBABCABCVSBB 由题可知，三棱柱为直三棱柱，底面，且底面是直角三角形，三棱柱体积解的析： 11111111111111112.11 / / /22/./.BCB CMEMFMEFAAB CMFBBEABBMFEAMFA EA F
10、 EMEMEBCA FEBCA FEBC证明：设与的交点为，连接、 分别为和的中点，,，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面29 111122222111221111111111111111111111111111132B2.2BB.ABCABCB BABCBEABAEB EAAEBBBEB EBEB EBCABBCBBBCAAB BABBBBBCBEBEB EBCBEB EBCBBEEBCBE证明： 三棱柱为直三棱柱，底面，又，由平面，由，得平面又11.EBCEBCEBC平面， 平面平面1解决空间线面平行与垂直问题时，一般由已知想性质，由求证想判断，即分析法与综合法相结合寻找证题思路；2证
11、明线面平行与垂直的关系，要注意“转化”思想的运用，注意如下两个方面的转化：(1)空间直线与平面平行的相互转化31(1)空间直线与平面平行的相互转化32(2)空间直线与平面垂直的相互转化33 1. A/B/C/D/lal alal al bbal al bbala下列说法中正确的是若直线 平行于平面 内的无数条直线，则若直线 在平面 外，则若直线，直线，则若直线，直线，那么直线 就平行平面 内的无数条直线34C.DABlaalla如图，当时，在 内可以作无数条直线与 平行，但 与 不平行，故 、 都错一条直线在平面外，可能与平面平行，也可能与平面相交，解错故选析：35 2.(2010) / .A
12、 3 B 2C 1 mnabnanba baba bnmnan bmbm aa b惠州一模已知 ， 是两条不同直线， ，是两个平面下列命题中正确的个数是若，则；若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，则；若 ， 为异面直线，则 D 0Bb显然正确；若三点在平面 的异侧，则两平面相交；正解：确，故选析3./ () xyzxzyzx yxyzxyzzxyxyz设 ， ， 是空间不同的直线或平面对下面四种情形，使，且为真命题的是 填序号 ， ， 是直线 ， 是直线， 是平面 是直线， ， 是平面 ， ， 是平面xyzxyz解析：是是假命题，直线 ， ， 为正方体的三条共点棱时为反例；是假命题，平
13、面 ， ， 是正方体的三个共点侧面时真命题为反例11111111114., .ABCDABC DMNPQRSABBCC DCCABB BPQRSMNRSPQMN如图，正方体中，、 、 、 、 、分别是棱、的中点 则下列判断：与共面；与共面；与共面，其中正确的是40PQ RSNQ PMMNRS证与平行，从而共面；与平行，也解析：共面，故，与是异面直线，正确故错 111111115.11/2ABCDA B C DECDACAD EACPDPAD ECP如图，在棱长为 的正方体中，是的中点求证：平面；在对角线上是否存在点 ，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由42 11111111111
14、1././.ADADFEFADD AFADECDEF ACEFAD EACAD EACAD E证明：连接，交于点 ，连接四边形是正方形，是的中点又 是的中点，平面，平面，平解：面析43 1111111111111111111323.ACPCPDPAD EADD AADADCDADD AADADD ACDADADCDDADACDADAD EAD EACD在对角线上存在点 ，且，使得平面证明： 四边形是正方形，平面，平面，平面平面， 平面平面1111112111./.13RtRt.333.3DPACPEF ACDPEFDPACDACDAD EEFDPAD ECDACDDCPCPACCPDPAD E作，垂足为，平面，平面平面，平面由，得当时，平面