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1、专题五立体几何立体几何主要培养学生的空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志立体几何是高中数学的重要内容之一在历年高考试卷被定位于中、低档题各种题型均有出现，一般是“一小(或两
2、小)一大”预计高考对本节知识的考查主要是以下几个方面：1求柱、锥、台、球体的面积或体积2重视新增的“三视图”(2007 年与 2009 年两次涉及解答题)，通过给出的简单组合体的三视图，求其表面积、体积3以三棱锥、四棱锥或三棱柱、四棱柱为载体，以线面平行、线面垂直为核心，考查平行和垂直关系题型一三视图例 1：(2011 年广东广州二模)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥 EABC组合而成，点A，B，C 在圆O的圆周上，其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12，如图 51 所示，其中EA平面 ABC，ABAC，ABAC，AE2.(1)求证：ACBD；(2)求三棱锥 EBCD
3、的体积图51三视图是高考的新增考点，经常以一道客观题的形式出现，有时也和其他知识综合作为解答题出现，解题的关键是将三视图转化为简单几何体，或者其直观图三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”【互动探究】1某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 52(1)所示墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 52(1)、图 52(3)分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线 BD平面 PEG.图 52解：(1)侧视图同正视图一样
4、，如图D28 所示图 D28图 D29(3)证明：如图D29，连接 EG，HF 及BD，EG 与HF 相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO平面 EFGH，POHF.又EGHF，HF平面 PEG.又BDHF，BD平面 PEG.题型二 平行与垂直关系例2：如图 53，矩形 ABCD 中，AD平面 ABE，AEEBBC2，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE，BDACG.(1)求证：AE平面 BCE；(2)求证：AE平面 BFD；(3)求三棱锥 EADC 的体积图 53(1)证明：AD平面 ABE，ADBC，BC平面 ABE.AEBC.又BF平面 ACE，BFAE.BCBFB，AE平
5、面 BCE.(2)证明：连接 GF，BF平面 ACE，BFCE.BEBC，F 为 EC 的中点矩形 ABCD 中，G 为 AC 中点，GFAE.AE平面 BFD，GF平面 BFD，AE平面 BFD.在立体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过化为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力【互动探究】2(2011 年广东华附中学测试)如图 54，在四棱锥 PABCD中，PD平面 ABCD，ADCD，且 BD 平分ADC
6、，E 为 PC 的中点，ADCD1，BCPC，DB.(1)证明 PA 平面 BDE；(2)证明 AC平面 PBD；(3)求四棱锥 PABCD 的体积图 54(1)证明：设ACBDH，连接 EH.在ADC 中，因为 ADCD，且 DB 平分ADC，所以 H 为 AC 的中点又 E 为 PC 的中点，所以 EHPA.因为 PA 平面BDE，EH平面BDE，所以 PA 平面BDE.(2)证明：因为PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 PDAC.由(1)知BDAC，PDBDD，BD平面 PBD，PD平面PBD，从而 AC平面 PBD.题型三 空间角与距离例3：(2011 年天津)如图55，在四
7、棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，ADC45，ADAC1，O 为 AC 的中点，PO平面 ABCD，PO2，M 为 PD 的中点(1)证明：PB平面 ACM；(2)证明：AD平面 PAC；(3)求直线 AM 与平面 ABCD所成角的正切值图 55(1)证明：如图56 连接BD，MO.在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点又 M 为PD 的中点，所以 PBMO.因为 PB平面 ACM，MO平面 ACM，所以PB平面 ACM.(2)证明：因为ADC45，且 ADAC1，所以DAC90.即 ADAC.又 PO平面 ABCD，AD平面ABCD
8、，所以 POAD.因为ACPOO，所以AD平面 PAC.图 56立体几何中的直线与平面的位置关系，以及空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法来处理，对于直线与平面间几种位置关系，可采用平行垂直的转化关系来证明，对于异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为相交直线所成的角来处理证明过程叙述要规范，求线面所成的角的关键是找到所求的角【互动探究】3(2011 年广东)如图 57，在锥体 PABCD 中，ABCD 是边长为 1 的菱形，且DAB60，PA PD，PB2，E，F分别是 BC，PC 的中点(1)证明：AD平面 DEF；(2)求二
9、面角 PADB 的余弦值图 57解：(1)证明：如图D30，设 AD 中点为 H，连接 PH，BH.PA PD，PHAD.图 D30从而AH2BH2AB2，AHHB，即 ADHB.AD平面 PHB.又 E，F 分别是 BC，PC 的中点，EFPB.EF平面 PHB.又显然 BHDE，DE平面 PHB，又 DE，EF平面 DEF，DEEFE，平面 DEF平面 PHB.AD平面 PHB，AD平面 DEF.(2)由(1)知，PHAD，BHAD，且PH面PAD，BH面BAD，PHB 就是二面角PADB 的平面角题型四 折叠问题例 4：(2011 年广东广州二模)如图58，在直角梯形 ABCD外作正方形
10、 ADEF，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面 ABCD 垂直，M 为 ED 的中点，如图 59.(1)求证：AM平面 BEC；(2)求证：BC平面 BDE；(3)求点 D 到平面 BEC 的距离图 58图 59(1)证明：如图510，取EC 中点N，连接MN，BN 在.EDC中，M，N 分别为EC，ED 的中点，图 510所以 MNAB，且 MNAB.所以四边形 ABNM 为平行四边形所以 BNAM.又因为 BN平面 BEC，且 AM平面 BEC，所以 AM平面 BEC.(3)方法一：由(2)知，BC平面BDE.又因为 BC平面 BCE，所以平面BDE平面 BE
11、C.过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G(如图 510)，则 DG平面BEC.所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度.立体几何最重要的思想就是空间问题平面化，当然也有许多将平面转换成立体几何的习题，如折叠问题，解此类问题最重要的要把握折叠前后边与角中的变与不变【互动探究】4(2011 年广东揭阳测试)如图 511(1)，在平面四边形 ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC如图 511(2)，设点 E，F 分别为棱 AC，AD 的中点(1)求证：DC平面 ABC；(2)设 CDa，求三棱锥 AB
12、FE 的体积图 511(1)证明：在图(1)中，ABBD 且A45，ADB45，ABC90.即 ABBD.在图(2)中，平面 ABD平面 BDC，又平面 ABD平面 BDCBD，AB底面 BDC.ABCD.又DCB90，DCBC.且 ABBCB.DC平面 ABC.(2)解：E，F 分别为 AC，AD 的中点，EFCD.又由(1)知，DC平面 ABC，EF平面 ABC.立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如降维化归思想：化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想因此自觉地学习和
13、运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果1平行关系：关键在于熟练掌握“线线、线面、面面”之间的平行关系的概念、判定定理和性质定理；熟悉各种必要辅助线的作法，如构造中位线、构造平行四边形、见到比例构造相似、已知线面平行或面面平行要作辅助面等等2垂直关系：证明线面垂直的常见方法：(1)证直线与平面内的两条相交直线都垂直；(2)证与该线平行的直线与已知平面垂直；(3)借用面面垂直的性质定理在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化应用1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则就会出现错误2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可