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1、第一章第一章 解三角形解三角形1.1.1 正弦定理正弦定理在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边一的对边一般记为般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形在非直角三角形ABCABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗? ?AcbaCBbADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有若三角形是若三角形是锐角三角形锐角三角形,
2、 如图如图1,CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin 可得D若三角形是若三角形是钝角三角形钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2正弦定理:CcBbAasinsinsin 即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）另证1:RCcBbAa2sinsinsin 证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2si
3、nsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,另证2:证明：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21剖析定理、加深理解1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和，求其他角和边边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求
4、其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：2 2、A+B+C=A+B+C=3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的过程叫解三角形解三角形剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsi
5、n 正正弦弦定定理理：5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化例 、 已知a=16， b= ， A=30 .解三角形已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316定理的应用变式: a=30, b=26, A=3
6、0，解三角形300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70, 或180025.70=154.30由于154.30 +3001800故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac30137 .25sin变式: a=30, b=26, A=30，解三角形300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,57.49sinsinACac30137 .25sina b A B ,三角形中大边对大角课堂小结课堂小结（1）三角形常用
7、公式：）三角形常用公式：（2）正弦定理的应用）正弦定理的应用正弦定理：正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R课后作业课后作业P10 习题习题1.1A组组 1， 2（1）（）（2）已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和角角1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.练习注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解无解课堂小结（2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)(1)正弦定理：sinsinsinabcABC2R