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1、第八节曲线与方程2019考纲考题考情1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的对应关系：(1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解。(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2求动点的轨迹方程的基本步骤(1)建系：建立适当的平面直角坐标系。(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)。(3)列式：列出或找出动点P满足的等式。(4)代换：将得到的等式转化为关于x，y的方程。(5)验证：验证所得方程即为所求的轨迹方程。1“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐
2、标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件。2曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。 一、走进教材1(选修21P37A组T3改编)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线解析由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线。答案D2(选修21P37A组T4改编)已知O方程为x2y24，过M(4,0)的直
3、线与O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为_。解析根据垂径定理知：OPPM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在O内的部分。以OM为直径的圆的方程为(x2)2y24，它与O的交点为(1，)。结合图形可知所求轨迹方程为(x2)2y24(0x1)。答案(x2)2y24(0x0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y0(x0)或y0(x0)或y0(x0且y0)。答案1(x0且y0)考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】(1)(2019银川模拟)动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是_。(2)(2019武威模拟)设F(1,0)，M点在x轴上，
4、P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为_。解析(1)设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x3,2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x3)24y21。(2)设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0。由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x。故所求的点N的轨迹方程是y24x。答案(1)(2x3)24y21(2)y24x相关点法求轨迹方程的步骤1明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动点)M(x，y)。2
5、寻求关系式x0f(x，y)，y0g(x，y)。3将x0，y0代入已知曲线方程。4整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程。 【变式训练】(1)(2019聊城模拟)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则点Q的轨迹方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50(2)在平行四边形ABCD中，BAD60，AD2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：xy0(x，yR)，则当点P在以A为圆心，|为半径的圆上时，实数x，y应满足的关系式为()A4x2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1解析(1)设Q(x，y)，则可得P(2x,4y)，代入2xy30得：2xy50。故选D。(2)如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD2，据题意，得AB1，ABD90，BD，所以B，D的坐标分别为(1,0)，(1，)，所以(1,0)，(1，)，设P(m，n)，则由xy0，得xy，所以依题意，得m2n21，所以x24y22xy1。故选D。答案(1)D(2)D