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1、第三节圆 的 方 程2019考纲考题考情1圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。2圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。3圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，其中圆心为，半径r。4点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2。(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2。(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2。1圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r
2、2。2以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0。3二元二次方程表示圆的条件对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件。 一、走进教材1(必修2P124A组T1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)。故选D。答案D2(必修2P120例3改编)过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2
3、(y1)24解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线xy20上，所以b2a。因为|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2。所以a1，b1。所以r2。所以方程为(x1)2(y1)24。故选C。解析：因为A(1，1)，B(1,1)，所以AB的中垂线方程为yx。由得所以圆心坐标为(1,1)，r2。则圆的方程为(x1)2(y1)24。答案C二、走近高考3(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_。解析设圆心为(t,0)(t0)，则半径为4t，所以4t2(4t)2，解得t，所以圆的标准方程为2y2。答案2y2
4、4(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_。解析设圆心的坐标为(a,0)(a0)，根据题意得，解得a2(a2舍去)，所以圆的半径r3，所以圆的方程为(x2)2y29。答案(x2)2y29三、走出误区微提醒：忽视表示圆的充要条件D2E24F0；错用点与圆的位置关系判定；忽视圆的方程中变量的取值范围。5若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是()A(，)(，)B(，2)(2，)C(，)(，)D(，2)(2，)解析将x2y2mx2y30化为圆的标准方程得2(y1)22。由其表示圆可得20，解得m2。答案B6若点
5、(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da4解析因为点(1,1)在圆内，所以(1a)2(1a)24，即1a1。故选A。答案A7已知实数x，y满足(x2)2y24，则3x24y2的最大值为_。解析由(x2)2y24，得y24xx20，得0x4，所以3x24y23x24(4xx2)x216x(x8)264(0x4)，所以当x4时，3x24y2取得最大值48。答案48考点一 圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_。(2)已知圆C经过P(2,4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦
6、长等于6，则圆C的方程为_。解析(1)由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3。过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r，所以圆C的方程为(x3)2y22。解析：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，因为点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故又因为1，解得a3，b0，r，故所求圆的方程为(x3)2y22。(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0。设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得D24F36，联立，解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0
7、。故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0。答案(1)(x3)2y22(2)x2y22x4y80或x2y26x8y0求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量。确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解。 【变式训练】(1)(2019珠海联考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y
8、1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22(2)(2019河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()Ax2(y1)24 Bx2(y1)22Cx2(y1)28 Dx2(y1)216解析(1)由题意设圆心坐标为(a，a)，则有即|a|a2|，解得a1。故圆心坐标为(1，1)，半径r，所以圆C的标准方程为(x1)2(y1)22。故选B。(2)直线xby2b10过定点P(1,2)，如图。所以圆与直线xby2b10相切于点P时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为x2(y1)22。故选B。答案(1)B(
9、2)B考点二 与圆有关的轨迹问题【例2】已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程。解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)。因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24。故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21，(x2)。(2)设PQ的中点为N(x，y)。在RtPBQ中，|PN|BN|。设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24。整理得x2
10、y2xy10，故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10。求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同，常采用以下方法：1直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。2定义法：根据圆、直线等定义列方程。3几何法：利用圆的几何性质列方程。4代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。 【变式训练】自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y210解析由题意得，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，如图。因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|
11、PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8y210，故选D。答案D考点三 与圆有关的最值问题微点小专题方向1：借助几何性质求最值【例3】已知实数x，y满足方程x2y24x10，则(1)的最大值和最小值分别为_和_；(2)yx的最大值和最小值分别为_和_；(3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_。解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆。(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx。当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k。所以的最大值为，最小值为。(2)令y
12、xb，则yx可看作是直线yxb在y轴上的截距。如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2，所以yx的最大值为2，最小值为2。(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方。由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274。答案(1)(2)22(3)7474借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解。1形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题。2形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距
13、的最值问题或转化为线性规划问题。3形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。 方向2：建立函数关系求最值【例4】(2019厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2,0)，B(2,0)，则的最大值为_。解析由题意，知(2x，y)，(2x，y), 所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12。由圆的方程x2(y3)21，易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212。答案12根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式
14、求最值。 【题点对应练】1(方向1)已知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP的面积的最小值为()A6 BC8 D解析x2y22y0可化为x2(y1)21，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆。如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时ABP的面积最小，直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离d，又|AB|5，所以ABP的面积的最小值为5。答案B2(方向2)已知实数x，y满足(x2)2(y1)21，则z的最大值与最小值分别为_和_。解析由题意，得表示过点A(0，1)和圆(x2)2(y1)21上的动点(x，y)的
15、直线的斜率。当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为ykx1，即kxy10，则1，解得k，所以zmax，zmin。答案3(方向2)已知圆O：x2y29，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l的方程为()Axy30或7xy150Bxy30或7xy150Cxy30或7xy150Dxy30或7xy150解析当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，)，所以SOPQ222。当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心到直线PQ的距离d，由平面几何知识得|PQ|2，SOPQ|PQ|d2d ，当且仅
16、当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值。因为20)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|。(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程。【解】(1)设Q(x0,4)，代入y22px，得x0，又P(0，4)，所以|PQ|。又|QF|x0，且|QF|PQ|，所以，解得p2(p2舍去)，所以，抛物线C的方程为y24x。(2)因为A，M，B，N四点在同一圆上，弦AB的垂直平分线必过圆心，又MN垂直平分AB，所以MN是圆的直径，则MN的中点E就是这个圆的圆心，所以|
17、AE|BE|MN|。依题意可知，直线l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1。由得y24my40。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24。故线段AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)。又l与l垂直，故可得直线l的方程为xy2m23，与y24x联立可得：y2y4(2m23)0。设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y48m212。故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|。在直角ADE中，由勾股定理得|AD|2|DE|2|AE|2，所以|AB|24|DE|2|MN|2，即4(m21)222，解得m1。故所求直线l的方程为xy10或xy10。本题中，MN的中点E就是A，M，B，N四点所在圆的圆心，故可将四点共圆的条件转化为圆心E到四点的距离相等，从而得到|AE|BE|MN|，进而把问题转化为先求线段AB的中点D、线段MN的中点E的坐标以及|AB|和|MN|，这是解析几何中的常规问题，通常是联立方程组后结合韦达定理来处理，但计算量较大。