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1、第八节函数与方程2019考纲考题考情1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。2二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(
2、x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根。2函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。3周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点。 一、走进教材1(必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，所以f(x)在R上
3、单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点。故选B。答案B二、走近高考3(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()AB. C.D1解析令f(x)0，则x22xa(ex1ex1)，设g(x)ex1ex1，则g(x)ex1ex1ex1，当g(x)0时，x1，故当x1时，g(x)1时，g(x)0，函数g(x)在(1，)上单调递增，当x1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)x22x，当x1时，函数h(x)取得最小值1，若a0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以函数没有零点。答案05若二次函数f(x)x2kxk在R上无零点，则实数k的取值范
4、围是_。解析k24k0，解得0k0即可，即1m0且8m0，解得8m1。答案(8,1考点一 函数零点的判断与求解微点小专题方向1：判断零点所在的区间【例1】(1)已知函数f(x)为奇函数，g(x)lnx2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_。解析(1)由函数f(x)为奇函数，可得a0，则g(x)lnx2f(x)lnx，所以g(2)ln210，所以g(2)g(3)0，可知函数的零点在(2,3)之间。故选C。(2)设f(x)x3x2，则x0是函
5、数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与yx2的图象如图所示。因为f(1)1110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)。答案(1)C(2)(1,2)确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法1利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0)，y2lnx(x0)的图象，如图所示。由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2。故选C。答案(1)B(2)C函数零点个数的判断方法1直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点。2零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确
6、定函数零点个数。3利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数。 【题点对应练】1(方向1)函数f(x)lnxx2的零点所在的区间是()A.B(1,2)C(2，e)D(e,3)解析易知f(x)在(0，)上单调递增，且f(2)ln20。所以f(2)f(e)0，故f(x)的零点在区间(2，e)内。故选C。答案C2(方向2)设函数f(x)lnx2x6，则f(x)零点的个数为()A3B2C1D0解析函数f(x)lnx2x6的定义域为(0，)，f(x)2，令f(x)0，得x，当0x0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减。因为f40，f(e2)82e20)，h(
7、x)2x6(x0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B。答案B考点二 函数零点的应用微点小专题方向1：已知函数零点的个数，求参数取值范围【例3】若函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_。解析令f(x)axx20，可得axx2。当x0时，两边同时取自然对数得xlna2lnx，即lna，由题意得函数ylna与g(x)的图象在(0，)上有两个不同的交点，g(x)，令g(x)0，解得0xe，则g(x)在(0，e)上单调递增，令g(x)e，则g(x)在(e，)上
8、单调递减，则g(x)maxg(e)，当x时，g(x)0且g(x)0，当x0时，g(x)，则有0lna，解得1a0时，得x0；当k0时，得1x0时，kx24(x1时，取“”)，又k0，得k4；当1x0时，kx20，又k0，得k0。要使函数f(x)ln(x1)不存在零点，k的取值范围应取函数g(x)x2的值域的补集，即k|0k0时，x1为f(x)的零点，x0时， x0为f(x)的零点，故x0，不能再有其他零点，即kx2(x0)无解，等价于kx(x0)无解，画出y(x0)，ykx(x0)的图象如图，可得k0。故选B。答案B2(方向1)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(
9、x)只有一个零点，则实数是_。解析令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得。答案3(方向2)若函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，则实数a的取值范围是_。解析因为函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，所以方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解。方程a4x2x可变形为a2，因为x1,1，所以2x，所以2。所以实数a的取值范围是。答案1(配合例1使用)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0
10、,3)D(0,2)解析因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a0时，f(x)0，则f(x)为(0，)上的增函数，又f(2)ln210，所以函数f(x)lnx的零点x0满足2x0t1)且t11，t21，当t10，所以函数F(x)在0，)上单调递增，从而F(x)F(0)22130，所以F(x)在0，)上单调递增，所以F(x)F(0)2，故x2x1的最小值为2。答案2类型一 基本初等函数的图象识别法1.特殊点法【例1】函数f (x)x2x的大致图象是() ABCD解析选
11、用函数图象经过的几个特殊点验证排除。由f (0)1，得函数图象过点(0，1)，可排除D，由f (2)440，f (4)16160，得函数图象过点(2,0)，(4,0)，可排除A，C。故选B。答案B使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案。 【变式训练】函数ysinx的图象大致是() AB CD解析当x1时，y0，即函数图象过点(1,0)，由选项中图象可知，只有D符合。故选D。答案D2性质检验法【例2】(2019福州质检)函数f (x)x2ln(ex)ln(ex)的大致图象为() A
12、 B CD解析利用函数的奇偶性与函数图象的极限位置，即可筛选出正确的选项。因为f (x)x2ln(ex)ln(ex)f (x)，所以函数f (x)为偶函数，排除C；因为xe时，f (x)，排除B、D。故选A。答案A破解此类题的关键是：一是利用解析式，判断函数的奇偶性，再根据奇函数或偶函数图象的对称性，可排除错误的选项；二是利用特值法或极限思想，排除错误的选项。 【变式训练】函数y的部分图象大致为() ABCD解析令f (x)，则f (x)f (x)，所以f (x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B、C。当x1时，y，显然y0且函数单调递减。故选D。答案D3图象变换法【例3】已知定义域为R的函数
13、f (x)满足f (x)f (x1)，则函数f (x)在(1,1上的图象可能是() A B C D解析由函数yf (x)满足f (x)f (x1)可知，把yf (x)在(1,0)上的图象向右平移一个单位长度，再把所得的图象关于x轴做对称变换，得到yf (x)在(0,1)上的图象，可排除A，B，D。故选C。答案C通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；二是了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换。 【变式训练】已知函数f (x)logax(0a1)，则函数yf (|x|1)的图象大致为() AB C D解析由题意，x0，yf (1)
14、0，排除C、D。x1，yf (2)log79log891log88，所以log9log79log891。即log79log891。因为yx在R上是减函数，所以130。又log3log79log893log3。本题综合考查了指数函数与对数的图象与性质，并且结合插值法顺利得到结果。 【变式训练】已知x1log2，x22，x3满足x3log3x3，则()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x1x3 Dx3x11，而x1log20,0x22x2x1。故选A。答案A2利用基本初等函数的性质求自变量的值或范围【例5】(2019福州质检)设函数f (x)则满足不等式f (x22)f (x)的x的取值范围是(
15、)A(，1)(2，)B(，)(，)C(，)(2，)D(，1)(，)解析因为当x0时，函数f (x)单调递增，当x0时，f (x)0，所以由f (x22)f (x)，得或解得x2或x0，由此可作出函数tf (x)的简图，如图所示。令tf (x)，g(t)t2mtm1，令g(t)0，得t1或t1m。要使原方程有3个不同的实数解，须t1m与tf (x)的图象有两个交点，故01m，所以1m0，所以由f (x)2af (x)0可得00)，画出函数g(t)的大致图象，如图所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0g(t)a的3个解分别为1，e，e2。又当tex的值分别为1，e，e2时，x0,1,2。画出直线ye21，故结合函数图象可知a的最小值为e21。故选C。答案C