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1、专题15不等式选讲1【2019年高考全国卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：（1）；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为，又，故有所以（2）因为为正数且，故有=24所以【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立2【2019年高考全国卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，当时，；当时，所以，不等式的解集为（2）因为，所以当，时，所以，的取值范围是【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不
2、等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型3【2019年高考全国卷理数】设，且（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或【答案】（1）；（2）见详解【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=，时等号成立所以的最小值为（2）由于，故由已知，当且仅当，时等号成立因此的最小值为由题设知，解得或【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型4【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式【答案】【解析】当x0时，原不等式可化为，解得x2，即x时，原不等式可化为x+2x12，解得x1综上，原不等式的解集为【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力5【重庆西
3、南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数（1）解不等式；（2）若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】（1）不等式等价于或或解得或（2）对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域，由图可得时，所以的值域为，当且仅当与异号时取等号，所以的值域为，由题，所以，解得【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题6【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数，不等式的解集为（1）求实数a的值；（2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由得44，即26，当0时
4、，所以，解得1；当0时，所以，无解所以实数的值为1（2）由已知|x1|x2|，不等式g（x）tx2转化成g（x）tx2，由题意知函数的图象与直线ytx2相交，作出对应图象，由图得，当t0时，tkBM，又因为kAM1，所以t1或，即t（，1，）【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题7【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数（1）若，求实数的取值范围；（2）设，若的最小值为，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），即或，实数的取值范围是（2），易知函数在单调递减，在单调递增，解得【点睛
5、】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等8【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数（1）若的最小值为1，求实数的值；（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围【答案】（1）或4（2）【解析】（1）当时，因为的最小值为3，所以，解得或4（2）当时，即，当时，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力9【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数（1）解不等式；（2）若，对，使成立，求实数的取值范围【答案】（1）；
6、（2）【解析】（1）不等式等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为（2）由知，当时，当且仅当时取等号，所以，解得故实数的取值范围是【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力10【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数（1）当时，解不等式；（2）若关于x的不等式的解集为，求证：【答案】（1）或（2）见解析【解析】（1）当时，不等式为，当时，原不等式可化为，解得，当时，原等式可化为，解得，不满足，舍去；当时，原不等式可化为，解得；不等式的解集为或（2）即，解得，而解集是，所以，解得，从而于是只需证明，即证，因为所以，证毕【点睛】本题主要考查
7、了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题11【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，可得的解集为；（2）当时，因为，所以所以，所以所以a的取值范围是3，1【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用12【河北省
8、衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知不等式，得，当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；当时，由得，此时无解综上可得所求不等式的解集为（2）要使函数的定义域为，只需的最小值大于0即可又，当且仅当时取等号所以只需，即所以实数的取值范围是【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想13【甘肃省兰州市第一中
9、学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，所以等价于或或解得或，所以不等式的解集为；（2）由（1）可知，当时，取得最小值，所以，即，由柯西不等式得，整理得，当且仅当时，即时等号成立所以的最小值为【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型14【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知设函数（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，证明：）【答案】（1）；（2）详见解析【解析】（1），不等
10、式，即，当时，当时，当时，解集为；（2），【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难15【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数，且（1）若，求的最小值；（2）若，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由柯西不等式得，（当且仅当时取等号），所以，即的最小值为；（2）因为，所以，故结论成立【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题16【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数，其中实数（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求
11、的值【答案】（1）不等式的解集为；（2）【解析】（1）当时，可化为，由此可得或，故不等式的解集为；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由，得，此不等式化等价于或，解得或，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得，故法二：（从等价转化角度考虑）由，得，此不等式化等价于，即为不等式组，解得，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得，故法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为是不等式的解集，所以是方程的根，把代入得，因为，所以【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小17【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x，y满足x+y=1（1）解关于x的不等式；（2）证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】（1），且，解得，所以不等式的解集为（2）解法1：，且，当且仅当时，等号成立解法2：，且，当且仅当时，等号成立【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式