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1、专题08 数列1【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和已知，则ABCD【答案】A【解析】由题知，解得，,故选A【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断2【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3【2019年高考浙江卷】设a，bR，数列an满足a
2、1=a，an+1=an2+b，则A当B当C当D当【答案】A【解析】当b=0时，取a=0，则.当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.当时，则，.（）当时，则，则，故A项正确.（）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.4【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以
3、【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误5【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，则_.【答案】4【解析】设等差数列an的公差为d,因，所以，即，所以【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案6【2019年高考北京卷理数】设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_【答案】 0，.【解析】等差数列中,得又,所以公差,由等差数列的性质得时,时,大于0,所以的最小值为或,即为.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式求和
4、公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查.7【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_.【答案】16【解析】由题意可得：，解得：，则.【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.8【2019年高考全国II卷理数】已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，.（I）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（II）求an和bn的通项公式.【答案】（I）见解析；（2），.【解析】（1）由题设得，即又因为a1
5、+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列由题设得，即又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，9【2019年高考北京卷理数】已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项（i1i2im），若，则称新数列为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为若pq，求证：；（）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度
6、为s末项为2s1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式【答案】() 1,3,5,6（答案不唯一）；()见解析；()见解析.【解析】（）1，3，5，6.（答案不唯一）（）设长度为q末项为的一个递增子列为.由p0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小
7、于6.综上，所求m的最大值为5【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力12【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（I）求数列的通项公式；（II）记证明：【答案】（I），；（II）证明见解析.【解析】（I）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（II）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=02，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即那么，当时，即当时不等式也成立根据（i）和（ii），不等式对任意成立【名师点睛】本题主要考查等差数列、等
8、比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.13【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，是方程的两根，则数列的前11项和等于A66B132C66D 32【答案】D【解析】因为，是方程的两根，所以，又，所以，故选D.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.14【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在0,+)上的函数fx满足：当0x2时，fx=2x-x2；当x2时，fx=3fx-2.记函数fx的极大值点从小到大依次记为a1,a2,an,并记相应的极大值为b1,b2,bn,则a1b1+a2
9、b2+a20b20的值为A19320+1B19319+1C20319+1D20320+1【答案】A【解析】由题意当0x2时，,极大值点为1，极大值为1，当x2时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，故an=2n-1.,bn=3n-1,故anbn=2n-13n-1，设S=a1b1+a2b2+a20b20=11+331+532+39319，3S=131+332+39320，两式相减得-2S=1+2(31+32+319)-320=1+231-3191-3-39320=-2-38320S=19320+1，故选：A.【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错
10、位相减求和,确定an及bn的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.15【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列an中，a1=2，且，则数列1(an-1)2前2019项和为A40362019B20191010C40372019D40392020【答案】B【解析】：an+an-1=nan-an-1+2（n2），整理得：an-12-an-1-12=n，an-12-a1-12=n+n-1+2，又a1=2，an-12=nn+12，可得：1an-12=2nn+1=21n-1n+1则数列1an-12前2019项和为：21-12+12-13+12019-12020=21-12020=20191
11、010故选：B【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题16【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“哀”得,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为ABCD【答案】A【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,解得,故选A【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审
12、题,注意等比数列的性质的合理运用17【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为_【答案】200【解析】，且，时，两式相减可得，（）即时，即，数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，则数列，则的前10项和为.故答案为200.【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.18【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，则的值为_【答案】1【解析】因为所以，,各式相加，可得，所以，故答案为1.【名师点睛】本题主要考查利用递推关系
13、求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.19【2019北京市通州区三模数学试题】设是等比数列，且，则的通项公式为_【答案】，.【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，因此，.故答案为，.【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.20【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为若，（I）求数列与
14、的通项公式；（II）求数列的前项和【答案】（I）；（II）.【解析】（I）由，则，设等差数列的公差为，则，所以.所以.设等比数列的公比为，由题，即，所以.所以；（II），所以的前项和为.【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.21【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是1，且，成等比数列（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和【答案】（I）；（II）.【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，成等比数列，所以，即，解得.所以.（II），两式相减得，所以.所以.【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公
15、式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型22【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且是的等比中项.（I）求数列的通项公式；（II）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值【答案】（I）.（II）8.【解析】（I）设等差数列的公差为，即，是，的等比中项，即，解得.数列的通项公式为.（II）由（I）得.，由，得.使得成立的最大正整数的值为.【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.23【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足：，数列中，且，成等比数列.（I）求证：数列是等差数列；（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.【答案】（I）见解析；（II）.【解析】（I），数列是公差为1的等差数列；（II）由题意可得，即，所以，所以，.【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.