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1、第44讲立体几何中的向量方法(二)空间角与距离的求解(时间：45分钟分值：100分)1设平面的法向量为a(1，2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，假设，那么k等于()A2 B4C4 D22银川一模 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0，2，1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90 B60C45 D303沈阳一模 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，那么侧棱与底面所成的角为()A75 B60C45 D304兰州一模 在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的法向量为n(2，2，1)，P(1，3，2)，那么点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2C3 D1
2、5长春一模 在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，那么点A1到截面AB1D1的距离是 ()A. B. C. D.6西宁一模 正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为()A60 B30C120 D1507西安一模 ABC的三个顶点坐标分别为A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，那么ABC的重心坐标为()A. B.C. D.8在正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，那么异面直线DE与AC夹角的余弦值为()A BC. D.9在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCA
3、CC1，那么BD1与AF1所成的角的余弦值是()A. B. C. D.10正方体ABCDA1B1C1D1，直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是_11如图K441，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，那么点M到直线AD1距离的最小值是_图K441图K44212郑州二模 如图K442所示，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，那么二面角APBC的余弦值为_13在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为：AxByCzD0(A，B，C，DR，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面的距离为：d，那么在底面边长与高都为2的正
4、四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于_14(10分)如图K443，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点，AB2，AD2，PA2，求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小图K44315(13分)如图K444甲，在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD90，AB2，AD3，CD1，点E，F分别在AD，BC上，且AEAD，BFBC.现将此梯形沿EF折至使AD的位置(如图乙)(1)求证：AE平面ABCD；(2)求点B到平面CDEF的距离；(3)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值图K44416(12分)长沙三模 如图K445，正ABC的边
5、长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ACDB.(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值；(3)求二面角BACD的余弦值图K445课时作业(四十四)【根底热身】1C解析 ，(2，4，k)(1，2，2)，2，k2，k4.2D解析 cos，因此所求的夹角为30.3C解析 如图，四棱锥PABCD中，过P作PO平面ABCD于O，连接AO，那么AO是AP在底面ABCD上的射影，PAO即为所求线面角，AO，PA1，cosPAO，PAO45，即所求线面角为45.4B解析 d2.【能力提升】5C解
6、析 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，那么A1(2，0，4)，A(2，0，0)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，(2，0，4)，(0，2，4)，(0，0，4)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，那么即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2，1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，那么d.6C解析 以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图设A(1，0，0)，D1(0，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，那么(1，1，0)为平面BB1D1的一个法向量设n(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量那么n0，n0，又(1，0，1)，(0，1，0)，
7、取n(1，0，1)cos，n.，n120，结合图形知二面角ABD1B1的大小为120.7B解析 ABC的重心坐标为x4，y，z2.8D解析 如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E.那么(1，1，0)，假设异面直线DE与AC所成的角为，那么cos|cos，|.9A解析 建立如以下图的坐标系，设BC1，那么A(1，0，0)，F1，B(0，1，0)，D1，.cos，.10.解析 如以下图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，那么D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)
8、，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，那么令x1得，n(1，1，1)，设直线BC1与平面A1BD所成的角为，那么sin|cos，n|，cos.11.a解析 设M(0，m，m)(0ma)，(a，0，a)，直线AD1的一个方向向量s0，由(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离d|2|s0|2)，根式内的二次函数当m时取最小值aa2a2，故d的最小值为a.12.解析 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系Cxyz，那么A(1，0，0)，B(0，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，(0，0，1)，(1，1)，(0，0)，
9、设平面APB的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，那么取n1(2，0)，n2(1，0，1)cosn1，n2.结合图形知二面角APBC的余弦值为.13.解析 如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，那么A(1，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为AxByCzD0，将以上3个坐标代入计算得A0，BD，CD，平面PAB的方程为DyDzD0，即2yz20，d.14解：(1)PA底面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，CDPD，又PD2，CD2，PCD的面积为222.(2)方法一：取PB的中点F，连接EF，
10、AF，那么EFBC，AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，EF，AF，AE2，AEF是等腰直角三角形，AEF，异面直线BC与AE所成的角大小为.方法二：如以下图，建立空间直角坐标系，那么B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，1)，(1，1)，(0，2，0)，设与的夹角为，那么cos.又0，.故异面直线BC与AE所成的角的大小是.15解：(1)证明：由题意知AE1，DE2，AD，AE2AD2DE2.EAD90，即EAAD.又EAAB，ABADA，AE平面ABCD.(2)作AKDE于点K.由题知ABEF.AB平面CDEF，EF平面CDEF，AB平面CDEF.点B到平面CD
11、EF的距离即为点A到平面CDEF的距离EFAE，EFED，EDEAE，EF平面AED，AK平面AED，AKEF.又AKDE，DEEFE，AK平面CDEF.AK的长即为点B到平面CDEF的距离在RtADE中，AK，点B到平面CDEF的距离为.(3)以点A为坐标原点，AD，AB，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，那么B(0，2，0)，C(，1，0)，E(0，0，1)，F，(，1，0)，(，1，1)，设平面BCF的法向量n(x，y，z)，由可取n.设直线CE与平面BCF所成的角为，那么sin.所以直线CE与平面BCF所成角的正弦值为.【难点突破】16解：(1)以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，那么D(0，0，0)，A(0，0，a)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，E，F.(a，0，a)，从而，又AB平面DEF，EF平面DEF，故AB平面DEF.(2)，DEF即为异面直线AB与DE所成的角(或其补角)，cos，.异面直线AB与DE所成角的余弦值为.(3)n0(1，0，0)为平面ACD的一个法向量，设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，那么naxaz0，nayaz0，取z1，那么x1，y.n，从而cosn，n0.所以二面角BACD的余弦值为.