《部编版第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《部编版第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角.doc（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第8讲平面多少何中的向量办法(二)求空间角一、选择题1.(2016长沙模仿)在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的巨细为()A.B.C.D.剖析树破如以下图的空间直角坐标系，设正方体边长为1，那么A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).(1，1，0)，(1，1，1)，1(1)110(1)0，AC与B1D所成的角为.谜底D2.(2017郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.剖析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1地点直线分不为x轴、y轴、z轴，树破空间直角坐标系
2、，如以下图.那么B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，因此(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1).令平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，那么nxy0，nxz0，令x1，可得n(1，1，1)，因此sin|cosn，|.谜底B3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，那么平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.剖析以A为原点树破如以下图的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，那么A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，因
3、此有即解得n1(1，2，2).平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.谜底B4.(2017西安调研)曾经明白六面体ABCA1B1C1是各棱长均即是a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，那么直线CC1与平面AB1D所成的角为()A.45B.60C.90D.30剖析如以下图，取AC的中点N，以N为坐标原点，树破空间直角坐标系.那么A，C，B1，D，C1，(0，0，a).设平面AB1D的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，可取n(，1，2).cos，n，直线CC1与平面AB1D所成的角为45.谜底A5.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，
4、那么点D1到平面A1BD的间隔是()A.B.C.D.剖析如图树破坐标系.那么D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，那么令z1，得n(1，1，1).D1到平面A1BD的间隔d.谜底D二、填空题6.(2017昆明月考)如以下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分不是棱AB，BB1的中点，那么直线EF跟BC1所成的角是_.剖析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，树破空间直角坐标系.设ABBCAA12，那么C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，
5、0，1)，那么(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，EF跟BC1所成的角为60.谜底607.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，那么CD与平面BDC1所成角的正弦值即是_.剖析以D为坐标原点，树破空间直角坐标系，如图.设AA12AB2，那么D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，那么(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2).设平面BDC1的一个法向量为n(x，y，z)，那么n，n，因此有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2，1).设CD与平面BDC1所成的角为，那么sin|cosn，|.谜底8.曾经明白点E，F分不在正方体
6、ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，那么平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值即是_.剖析延伸FE，CB订交于点G，衔接AG，如以下图.设正方体的棱长为3，那么GBBC3，作BHAG于点H，衔接EH，那么EHB为所求二面角的平面角.BH，EB1，tanEHB.谜底三、解答题9.(天下卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD统一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证实：平面AEC平面AFC，(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证实如图，衔接BD，设BDACG，衔接EG，FG，E
7、F.在菱形ABCD中，无妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，因此EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，从而EG2FG2EF2，因此EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.由于EG平面AEC，因此平面AEC平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分不以，的偏向为x轴，y轴正偏向，|为单元长度，树破空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1，0，)，F，C(0，0).因此(1，)，.故cos，.因此直线AE与直线CF所成角的
8、余弦值为.10.(2016天下卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为极点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF基本上60.(1)证实：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值.(1)证实由曾经明白可得AFDF，AFEF，因此AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的偏向为x轴正偏向，|为单元长，树破如以下图的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，那么|DF|2，|DG|.可得A(1，
9、4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，).由曾经明白得ABEF，因此AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，因此CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2，0，).因此(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0).设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，那么即因此可取n(3，0，).设m是平面ABCD的法向量，那么同理可取m(0，4).那么cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.11.(2017济南质检)如以下图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB
10、，那么直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.剖析无妨令CB1，那么CACC12，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，(0，2，1)，(2，2，1)，cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.谜底A12.在正四棱锥SABCD中，O为极点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，那么直线BC与平面PAC所成的角是()A.30B.45C.60D.90剖析如图，以O为原点树破空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.那么A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(
11、a，0，0)，P.那么(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n(x，y，z)，那么解得可取n(0，1，1)，那么cos，n，又，n(0，180)，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.谜底A13.如以下图，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分不在那个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.曾经明白AB4，AC6，BD8，CD2，那么该二面角的巨细为_.剖析，|cos，24.cos，.又所求二面角与，互补，所求的二面角为60.谜底6014.(2016四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA
12、与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内寻一点M，使得直线CM平面PBE，并阐明来由；(2)假定二面角PCDA的巨细为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延伸AB，DC，订交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.来由如下：由曾经明白，知BCED，且BCED.因此四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，因此CM平面PBE.(阐明：延伸AP至点N，使得APPN，那么所寻的点能够是直线MN上恣意一点)(2)法一由曾经明白，CDPA，CDAD，PAADA，因此CD平面PAD.从而CDPD.因此PDA是二面
13、角PCDA的平面角.因此PDA45.设BC1，那么在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延伸线于点H，衔接PH.易知PA平面ABCD，从而PACE.因此CE平面PAH.因此平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，那么AQ平面PCE.因此APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH45，AE1，因此AH.在RtPAH中，PH，因此sinAPH.法二由曾经明白，CDPA，CDAD，PAADA，因此CD平面PAD.因此CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角.因此PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，那么在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的偏向分不为x轴，z轴的正偏向，树破如以下图的空间直角坐标系Axyz，那么A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，因此(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2)，设平面PCE的一个法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2，1).设直线PA与平面PCE所成角为，那么sin.因此直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.