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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量法求直线与平面所成角2 利用向量法求距离1 综合应用3,4【教 师 备 用】(2016邢 台 摸 底 考 试)如 图,已 知 四 棱 锥PABCD的 底 面 为 菱 形,BCD=120,AB=PC=2,AP=BP=.(1)求证:ABPC;(2)求二面角BPCD的余弦值.(1)证明:取 AB的中点 O,连接 PO,CO,AC,因为 APB为等腰三角形,所以 PO AB,又四边形ABCD 是菱形,BCD=120,所以 ACB是等边三角形,所以 CO AB.又 CO PO=O,所以 A
2、B 平面 PCO,又 PC?平面 PCO,所以 AB PC.(2)解:易求得 PO=1,OC=,所以 OP2+OC2=PC2,所以 OP OC.以 O为坐标原点,以 OC所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则 A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0,1),D(,-2,0),=(,-1,0),=(,0,-1),=(0,2,0).设平面 DCP的法向量n=(x,y,z),则即令 x=1,得所以 n=(1,0,),小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学设平面 PCB的法向量m=(a,b,c),即令
3、a=1,则 b=c=,所以 m=(1,),所以 cos=,由图易知二面角BPCD 的平面角为钝角.所以二面角BPCD的余弦值为-.1.(2016郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,PD底面 ABCD,ADC=90 ,AD=2BC,Q为 AD的中点,M 为棱 PC的中点.(1)证明 PA 平面 BMQ;(2)已知 PD=DC=AD=2,求点 P到平面 BMQ 的距离.(1)证明:连接 AC交 BQ于 N,连接 MN,因为 ADC=90,Q为 AD的中点,所以 N为 AC的中点,又 M为 PC的中点,MN为 PAC的中位线,故 MN PA,又 M
4、N?平面 BMQ,所以 PA 平面 BMQ.(2)解:以D 为坐标原点,DA,DC,DP 所在直线分别为x 轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1).所以=(0,-1,1),=(-1,1,1),=(-1,-1,1),设 n=(x,y,z)是平面 BQM 的法向量,则 n,n,所以小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即令 z=1,则 x=1,y=0,所以 n=(1,0,1),则 P点到平面 BQM 的距离为 d=.2.(2015高考新课标全国卷)如图,长方体
5、ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线 AF与平面 所成角的正弦值.解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图.(2)作 EM AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH=6,所以 AH=10.以 D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,1
6、0,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故|cos|=.所以 AF与平面 所成角的正弦值为.3.(2016 贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD 中,PA平面 ABCD,AD BC,AD CD,且 ABAC,AB=AC=PA=2,E 是 BC的中点.(1)求异面直线AE与 PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解:(1)如图所示,以 A点为原点建立空间直角坐标系Axy
7、z,则 B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2).故 E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos=,即=60,故异面直线AE与 PC所成的角为60.(2)因为 AB=AC=2,AB AC,所以 ABC=ACB=45,因为 AD BC,所以 DAC=ACB=45,又 AD CD,所以 AD=CD=,所以 D(-1,1,0),又 C(0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).设 n=(x,y,z)是平面 PCD的法向量,则n,n,即n=0,n=0,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以令 x=-1 得 y=1,z=1,则 n=
8、(-1,1,1),|n|=.又 AB 平面 PAC,所以=(2,0,0)是平面 PAC的一个法向量,所以 cos=-,所以二面角DPCA的平面角的余弦值为.4.(2015河南三市第三次调研)在三棱 锥PABC中,PA底面ABC,PB=PC=,BC=4,PA=m(m0).(1)当 m为何值时,点 A到平面 PBC的距离最大,并求出最大值;(2)当点 A到平面 PBC的距离取得最大值时,求二面角APBC 的余弦值.解:(1)设 D为 BC的中点,连接 AD,PD,因为 PA 平面 ABC,所以 PA BC.在等腰三角形PBC中,因为 BD=DC,所以 BC PD,又因为 PD PA=P,所以 BC
9、 平面 PAD,又因为 BC?平面 PBC,所以平面PBC 平面 PAD.在平面 PAD中,过 A作 AM PD于 M,则 AM 平面 PBC.即 AM为点 A到平面 PBC的距离.在 PDB中,PD=3.在 RtPAD中,AD=,且 PA AD=PD AM,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以 AM=,当且仅当m2=18-m2,即 m=3时等号成立.故当 m=3时,点 A到平面 PBC的距离最大,最大值为.(2)当 m=3时,AD=3,过 D作 DE AP,以点 D为坐标原点,分别以 DA,DB,DE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则 A(3,0,0),P(3,0,3),B(0,2,0),C(0,-2,0),所以=(0,0,3),=(3,-2,3),=(0,4,0).设平面 PAB的法向量p=(x,y,z).则即即取 p=(,1,0).同理,平面 PBC的一个法向量q=(1,0,-1).cos=.所以二面角APBC的余弦值为.