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1、课时跟踪检测（四十八） 圆的方程一、题点全面练1圆(x3)2(y1)25关于直线yx对称的圆的方程为()A(x3)2(y1)25B(x1)2(y3)25C(x1)2(y3)25D(x1)2(y3)25解析：选C由题意知，所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为，所以所求圆的方程为(x1)2(y3)25，故选C.2已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.解析：选B设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，ABC外接圆的圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .3(2019成都模拟)若抛物线yx22x3与坐标轴的交点在同一个
2、圆上，则由交点确定的圆的方程为()Ax2(y1)24B.(x1)2(y1)24C(x1)2y24D(x1)2(y1)25解析：选D抛物线yx22x3关于直线x1对称，与坐标轴的交点为A(1,0)，B(3,0)，C(0，3)，设圆心为M(1，b)，半径为r，则|MA|2|MC|2r2，即4b21(b3)2r2，解得b1，r，由交点确定的圆的方程为(x1)2(y1)25，故选D.4(2019银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|2，则圆C的标准方程是()A(x)2(y1)22B.(x1)2(y)22C(x)2(y1)22D(x1)2(y)22解析：选C
3、设线段AB的中点为D，则|AD|CD|1，r|AC|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x)2(y1)22，故选C.5点P(4，2)与圆x2y24上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()A(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：选A设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x，y)，由题意得则故(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21，故选A.6在平面直角坐标系内，若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_解析：圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(
4、a,2a)，半径r2，故由题意知解得a2，故实数a的取值范围为(，2)答案：(，2)7已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y298在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：因为直线mxy2m10(mR)恒过点(2，1)，所以当点(2，1)为切点时，半径最大，此时半径r，故
5、所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y229已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2，(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.10已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ
6、|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|42.所以点Q在圆C外，所以|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.因为直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1方程|y|1表示的曲线是()A一个椭圆B.一个圆C两个圆D两个半圆解析：选D由题意知|y|10，则y1或y1，当y1时，原方程可化为(x1)2
7、(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y1上方的半圆；当y1时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y1下方的半圆所以方程|y|1表示的曲线是两个半圆，选D.2(2019海口模拟)已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是()A(2，4)B.2，4C4,4D4,2解析：选Bx2y24(y0)表示圆x2y24的上半部分，如图所示，直线xym0的斜率为，在y轴上的截距为m.当直线xym0过点(2,0)时，m2.设圆心(0,0)到直线xym0的距离为d，则即解得m2，43若对圆(x1)2(y1)21上任意一点P(
8、x，y)，|3x4ya|3x4y9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是()A(，4B.4,6C(，46，)D6，)解析：选D|3x4y9|表示点P到直线l1：3x4y90的距离的5倍，|3x4ya|表示点P到直线l2：3x4ya0的距离的5倍，|3x4ya|3x4y9|的取值与x，y无关，即点P到直线l1，l2的距离之和与点P的位置无关，所以直线3x4ya0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以1，且a0，解得a6，故选D.4已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为_解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a
9、), 半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.答案：x225已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点记d|PB|2|PA|2，其中A(0,1)，B(0，1)，则d的最大值为_解析：设P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x(y01)2x(y01)22(xy)2.xy为圆上任一点到原点距离的平方，(xy)max(1)236，dmax74.答案：74(二)交汇专练融会巧迁移6与基本不等式交汇已知圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是()A2B.C4D.解析：选D由圆x2y22x6y10知，其标准
10、方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D.7与线性规划交汇已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析：如图，不等式表示的平面区域是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案：(x2)2(y1)258与函数交汇如果直线2axby1
11、40(a0，b0)和函数f(x)mx11(m0，m1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(xa1)2(yb2)225的内部或圆上，那么的取值范围为_解析：易知函数f(x)mx11(m0，m1)的图象过定点(1,2)，直线2axby140(a0，b0)过定点(1，2)，ab7，又定点(1,2)在圆(xa1)2(yb2)225的内部或圆上，a2b225，由解得3a4，1.答案：9与向量交汇已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解：(1)设圆C的圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，
12、则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x0，y0)，则xy2，(x01，y01)(x02，y02)xyx0y04x0y02.令x0cos ，y0sin ，所以x0y02(sin cos )22sin2，又min1，所以的最小值为4.(三)难点专练适情自主选10在平面直角坐标系xOy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点解：由曲线：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.设A(x1,0)，B(x2,0)，可得m28m0，则m0或m8.x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0,2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0(舍去)或m.此时C(0，1)，AB的中点M即圆心，半径r|CM|，故所求圆的方程为2y2.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0，将点C(0,2m)代入可得E12m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0.整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.