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1、课时跟踪检测（四十） 空间点、线、面之间的位置关系一、题点全面练1下列四个命题：存在与两条异面直线都平行的平面；过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；过直线外一点可作无数个平面与该直线平行其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：选C将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故不正确；正确；正确故选C.2已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A必要不充分条件B.充分不必要条件C充要条件D
2、既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面，内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面和平面相交”，反之不成立所以“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选B.3已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选B在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的
3、三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错4(2019广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：AFGC；BD与GC是异面直线且夹角为60；BDMN；BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的个数是()A1B.2C3D4解析：选B将平面展开图还原成正方体(如图所示)对于，由图形知AF与GC异面垂直，故正确；对于，BD与GC显然是异面直线如图，连接EB，ED，则EBGC，所以EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)在等边BDE中，EBD60，所以异面直线BD与GC所成的角为60，故正确；对于，BD与MN为异面垂直，故错误；对于，由题意得，GD平面A
4、BCD，所以GBD是BG与平面ABCD所成的角但在RtBDG中，GBD不等于45，故错误综上可得正确5如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线B.A，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，因为A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线6若平
5、面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析：如果这四点在同一平面内，那么确定1个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，所以可确定4个答案：1或47在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_解析：如图，延长CA到点D，使得ADAC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DA1BDB，所以A1DB为等边三角形，所以DA1B60.答案：608如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的
6、点，且，有以下四个结论EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上其中正确结论的序号为_解析：如图所示连接EH，FG，依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上答案：9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中
7、点问：(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)AM与CN不是异面直线理由如下：如图，连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)D1B与CC1是异面直线理由如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面
8、矛盾所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线10.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心，如图所示(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积解：(1)因为AA1CC1，所以异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C或其补角连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边上的中点因为点O是正三角形ABC的中心，且A1O平面ABC，所以BCAD，BCA1O，因为ADA1OO，所以BC平面ADA1.所以BCAA1，又因为AA1CC1，所以CC1BC，BCCC1B1C1BB1
9、2，即四边形BCC1B1为正方形，所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，所以可求得AD，AOAD，二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知平面及直线a，b，则下列说法正确的是()A若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线平行B若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线不可能垂直C若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行D若直线a，b垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直解析：选D对于A，若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；对于B，若直线a，b与平面所成角都是30，则这两条直线可能垂直，如图，直角
10、三角形ACB的直角顶点C在平面内，边AC，BC可以与平面都成30角，故B错误；C显然错误；对于D，假设直线a，b与平面都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，故D正确故选D.2在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线()A不存在B.有且只有两条C有且只有三条D有无数条解析：选D如图，在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时，确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，故有无数条直线与直线A1B1，
11、EF，BC都相交3.如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是棱PB的中点，已知PABC2，AB4，BCAB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为_解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE.则在PBC中，PDDB，BEEC，所以DEPC，且DEPC.故ADE为异面直线PC，AD所成的角或其补角因为PA平面ABC，所以PAAC，PAAB.在RtABC中，AC2.在RtPAC中，PC2.故DEPC.在RtPAB中，PB2.又PDDB，所以ADPB.在RtEAB中，AE.在DAE中，cosADE.故异面直线PC，AD所成角的余弦值为.答案：4已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四
12、个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是_(填序号)解析：借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面，可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面，可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确答案：(二)素养专练学会更学通5直观想象如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P
13、的轨迹的面积是()A4B.C2D.解析：选D连接DN，则MDN为直角三角形，在RtMDN中，MN2，P为MN的中点，连接DP，则DP1，所以点P在以D为球心，半径R1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S4R2.6直观想象、逻辑推理(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其
14、中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又ACa，ACb，AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作BDa，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DEBD，DEb，连接AD，设BC1，在等腰ABD中，ABAD，当直线AB与a成60角时，ABD60，故BD，又在RtBDE中，BE2，DE，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，EF，BFDE，ABF为等边三角形，ABF60，即AB与b成60角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线AB与a所成角的最大值为90，错误正确的说法为.答案：7.直观想象、逻辑推理
15、、数学运算如图所示，AC是圆O的直径，B，D是圆O上两点，AC2BC2CD2，PA圆O所在的平面，PA，点M在线段BP上，且BMBP.(1)求证：CM平面PAD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值解：(1)证明：作MEAB于点E，连接CE，则MEAP.因为AC是圆O的直径，AC2BC2CD2，所以ADDC，ABBC，所以BACCAD30，BCADCA60，ABAD，因为BMBP，所以BEBA，tanBCE，所以BCEECA30CAD，所以ECAD.又MECEE，PADAA，所以平面MEC平面PAD，又CM平面MEC，CM平面PAD，所以CM平面PAD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于点G，作BFCG交AG于点F，连接PF，则PBF或其补角为异面直线BP与CD所成的角，设PBF.易知AF1，BP，BF2，PF2，故cos .即异面直线BP与CD所成角的余弦值为.