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1、课时跟踪检测(十八)利用导数证明不等式1(2019唐山模拟)已知f(x)x2a2ln x，a0.(1)求函数f(x)的最小值；(2)当x2a时，证明：a.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x.当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(a，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xa时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(a)a2a2ln a.(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，)上单调递增，则所证不等式等价于f(x)f(2a)a(x2a)0.设g(x)f(x)f(2a)a(x2a)，则当x2a时，g(x)f(x)axa0，所以g(x)在(2a，)上单调递增，
2、当x2a时，g(x)g(2a)0，即f(x)f(2a)a(x2a)0，故a.2(2018黄冈模拟)已知函数f(x)ln xex(R)(1)若函数f(x)是单调函数，求的取值范围；(2)求证：当0x1x2时，e1x2e1x11.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xex，f(x)ex，函数f(x)是单调函数，f(x)0或f(x)0在(0，)上恒成立，当函数f(x)是单调递减函数时，f(x)0，0，即xex0，xex.令(x)，则(x)，当0x1时，(x)0；当x1时，(x)0，则(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x0时，(x)min(1)，.当函数f(x)
3、是单调递增函数时，f(x)0，0，即xex0，xex，由得(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又(0)0，当x时，(x)0，0.综上，的取值范围为0，)(2)证明：由(1)可知，当时，f(x)ln xex在(0，)上单调递减，0x1x2，f(x1)f(x2)，即ln x1ex1ln x2ex2，e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11，只需证ln x1ln x21，即证ln 1，令t，t(0,1)，则只需证ln t1，令h(t)ln t1，则当0t1时，h(t)0，h(t)在(0,1)上单调递减，又h(1)0，h(t)0，即ln t1，故原不等式得证3(2019贵阳模拟)已知函数f(x)kxln x1(k0)(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)求证：当nN*时，1ln(n1)解：(1)f(x)kxln x1，f(x)k(x0，k0)；当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minfln k，f(x)有且只有一个零点，ln k0，k1.(2)证明：由(1)知xln x10，即x1ln x，当且仅当x1时取等号，nN*，令x，得ln ，1lnlnlnln(n1)，故1ln(n1)