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1、课时分层作业(七)椭圆的几何性质(建议用时：45分钟)基础达标练一、填空题1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦距为2，则C的方程为_. 【导学号：95902097】【解析】根据已知条件知，又2c2，得a2，又b2a2c2413，椭圆方程为1.【答案】12设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为_【解析】由题意知圆F2的半径为c，在RtMF1F2中，|MF2|c，|MF1|2ac，|F1F2|2c且MF1MF2.所以(2ac)2c24c2，220，e1.【答案】13直线yk(x2)1
2、与椭圆1的位置关系是_. 【导学号：95902098】【解析】直线yk(x2)1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得1，P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交【答案】相交4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为_【解析】根据条件可知，且4a4，a，c1，b，椭圆的方程为1.【答案】15已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，a21，1a2，故长轴长2b0)由得由a2b2c2，得b232.故椭圆的方程为：1.【答案】17椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB
3、的面积是_. 【导学号：95902100】【解析】如图，当直线xm，过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由解得y，|AB|3.S323.【答案】38已知椭圆方程是1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为_【解析】方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y1k(x1)，由得(49k2)x218k(k1)x9k218k270，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1x22，解得k，则所求的直线方程为y1(x1)，即4x9y130.方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1 1 得k.直线l的方程为y1(x1)
4、，即4x9y130.【答案】4x9y130二、解答题9(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率【解】(1)由题意得：bc，e2，e.(2)由题意得：2bac，4b2(ac)2.又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，3250，即5230，e.10过椭圆1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程. 【导学号：95902101】【解】方法一：依题意，该直线l的斜率存在设所求直线方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.
5、又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1x2.又M为AB的中点，2，解之得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点x1x24，y1y22.又A、B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16.两式相减得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直线方程为x2y40.能力提升练1已知椭圆1(ab0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若BAOBFO90，则椭圆离心率为_【解析】令右焦点为F，连结BF，由题意得A
6、(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，由椭圆的对称性知BFOBFO，又BAOBFO90，所以BAOBFO90，0，(a，b)(c，b)acb2aca2c20，得e2e10，求得e.【答案】2.如图223，P是椭圆1在第一象限上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是F1PF2的平分线上的一点，且0，则OM的取值范围是_. 图223【导学号：95902102】【解析】延长 F2M交PF1于点N，由已知条件可知OMNF1(PF1PF2)aPF2，而acPF2a，所以OM(0，c)，即OM(0,3) 【答案】(0,3)3已知椭圆1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为_【解析】设
7、弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y24，两式相减，得0，k.【答案】4.如图224，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，PF1F2的面积为2.图224(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点Q在椭圆C上，且F1QF2，求QF1QF2的值；(3)设直线yxk与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值. 【导学号：95902103】【解】(1)椭圆过点P(3,1)，1.又S2c12，解得c2.又a2b2c2，解得a212，b24，椭圆的标准方程为1.(2)当F1QF2时，有QF1QF2.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x26kx3k2120.故x1x2，x1x2，y1y2.以AB为直径的圆经过坐标原点，x1x2y1y2k260解得k，此时1200，满足条件，因此k.