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1、课时分层作业(十八)极大值与极小值(建议用时：45分钟)基础达标练一、填空题1函数y2x2x3的极大值为_；极小值为_【解析】y2x3x2x(3x2)，由y0得x0或x.函数在，(0，)上都递减，在上递增，所以函数的极大值为f(0)2，极小值为f.【答案】22函数f(x)ln x(x0)的极小值为_. 【导学号：95902230】【解析】f(x)ln x(x0)，f(x).由f(x)0解得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(2，)时，f(x)0，f(x)为增函数x2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)ln x的极小值为f(2)1ln 2.【答案】1ln 23若函数f(
2、x)在x1处取得极值，则a_.【解析】f(x)(x1)，又yf(x)在x1处取得极值，则f(1)0，解得a3.【答案】34已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图337所示，则xx等于_. 【导学号：95902231】图337【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.【答案】5函数yx33x29x(2x2)的极大值为_ 【解析】y3x26x
3、93(x1)(x3)，令y0，得x1或x3.当2x1时，y0；当1x2时，y0.所以当x1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值【答案】56已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数图象如图338所示，则函数f(x)的极小值是_图338 【解析】由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x0时取得极小值c.【答案】c7若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_. 【导学号：95902232】【解析】令f(x)0得a3xx3，于是ya和y3xx3有3个不同交点，画出y3xx3的图象即可解决结合图象，可知2a2. 【答案】2a
4、28如果函数yf(x)的导函数的图象如图339所示，给出下列判断：图339 函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断中正确的是_(填序号)【解析】从题图知，当x(3，2)时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以函数yf(x)在内不单调，同理，函数yf(x)在内也不单调，故均不正确；当x(4,5)时，f(x)0，所以函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增，故正确；由于f(2)0，且在x2的左、右两侧的附近分别有f(x)0与f(x)0，所以当x2时函数yf(
5、x)取得极大值，而在x的左、右两侧的附近均有f(x)0，所以x不是函数yf(x)的极值点，即均不正确故填.【答案】二、解答题9求函数f(x)2的极值. 【导学号：95902233】【解】函数的定义域为R.f(x)，令f(x)0得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由表可知，当x1时，函数取得极小值f(1)3.当x1时，函数取得极大值f(1)1.10设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值【解】(1)因为f(x)aln x
6、x1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.能力提升练1若函数f(x)x33ax23(a2)x3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_【解析】f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20.函数f(x)有
7、极大值和极小值，方程x22axa20有两个不相等的实数根，即4a24a80，解得a2或a1.【答案】(，1)(2，)2已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_. 【导学号：95902234】【解析】f(x)x36x29xabc，f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.依题意，函数f(x)x36x29xabc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)0，即(169abc)(3363293abc)0，0abc4，f
8、(0)abc0，f(1)4abc0，f(3)abc0，故正确【答案】3若函数f(x)x22bx3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是_【解析】f(x)2x2b2(xb)，令f(x)0，解得xb，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0b1.当0xb时，f(x)0；当bx1时，f(x)0，符合题意所以实数b的取值范围是0b1.【答案】0b14设函数 f(x)ln x，m R.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)当m0时，确定函数g(x)f(x)零点的个数. 【导学号：95902235】【解】(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，(x)的极大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，因为m0，所以函数g(x)有且只有一个零点.