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1、第三节函数的奇偶性与周期性2019考纲考题考情1函数的奇偶性奇偶性条件图象特点偶函数对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)关于y轴对称奇函数对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。1一条规律奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。函数的定义域关于原点对
2、称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2两个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0。(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇。 3函数周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)。(2)若f(xa)，则T2a(a0)。(3)若f(xa)，则T2a(a0)。 一、走进教材1(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sinx Byx2cosxCy|lnx| Dy2x解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为
3、奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数。故选B。答案B2(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_。解析由题意得，ff4221。答案1二、走近高考3(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_。解析依题意得，f(2)2(2)3(2)212，由函数f(x)是奇函数，得f(2)f(2)12。答案124(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)。若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_。解
4、析因为f(x4)f(x2)，所以f(x)的周期为6，因为91915361，所以f(919)f(1)。又f(x)为偶函数，所以f(919)f(1)f(1)6。答案6三、走出误区微提醒：利用奇偶性求解析式忽视定义域；忽视奇函数的对称性致错。5设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x24x3，则函数f(x)的解析式为f(x)_。解析设x0，所以f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，由奇函数的定义可知f(0)0，所以f(x)答案6设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_。解析由图象可知，当0x0；当2x5时，f(x
5、)0，又f(x)是奇函数，所以当2x0时，f(x)0，当5x0。综上，f(x)0时，f(x)log2x，所以f()log2，即f()。(2)f(x)2，设g(x)，因为g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)maxg(x)min0。因为Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，所以Mm2g(x)max2g(x)min4。答案(1)B(2)C将所求值转化为已知区间上的函数值。 方向2：利用奇偶性求参数的值【例4】若函数f(x)x3为偶函数，则a的值为_。解析因为函数f(x)x3为偶函数，所以f(x)f(x)，即(x)3x3，所以2a，所以2a1，解得a。解析
6、：因为函数f(x)x3为偶函数，所以f(1)f(1)，所以(1)313，解得a，经检验，当a时，函数f(x)为偶函数。答案已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(x)f(x)(奇函数)或f(x)f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)0求解，偶函数一般利用f(1)f(1)求解。用特殊值法求得参数后，一定要注意验证。 方向3：函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例5】定义在R上的函数f(x)满足：对任意xR有f(x4)f(x)；f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于y轴对称。则下列结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)
7、Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(6.5)f(7)Df(4.5)f(7)f(6.5)解析由知函数f(x)的周期为4，由知f(x2)是偶函数，则有f(x2)f(x2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x2，由知函数f(x)在0,2上单调递增，则在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近x2，对应的函数值越大，又f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)。故选D。答案D1关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题。2掌握以下两个结论
8、，会给解题带来方便：(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)。(2)若奇函数在x0处有意义，则f(0)0。 【题点对应练】1(方向1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(8)()A2 B1C1 D2解析由题意，得f(8)f(8)log3(81)2，所以g(f(8)g(2)f(2)f(2)log3(21)1。故选B。答案B2(方向2)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_。解析函数f(x)ln(e3x1)ax为偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln2axlne2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以
9、2ax3x0，解得a。答案3(方向3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)。由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)。因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是
10、增函数，所以f(1)f(0)f(1)。所以f(25)f(80)f(11)。答案D1(配合例1使用)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin2x Byx2cosxCy2x Dyx2sinx解析A项为奇函数；B，C项为偶函数；D项是非奇非偶函数。故选D。答案D2(配合例2使用)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x1)是偶函数，且当x0,1时，f(x)x(32x)，则f()A BC1 D1解析因为yf(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，因为函数yf(x1)是定义在R上的偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x2)f(x)，则
11、f(x)的周期是4，所以ffff1。故选C。答案C3(配合例3使用)已知函数yf(x)，满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()A BC D解析由yf(x)和yf(x2)是偶函数知f(x)f(x)，f(x2)f(x2)f(x2)，故f(x)f(x4)，则F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1)。故选B。答案B4(配合例4使用)已知f(x)2x为奇函数，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则f(ab)()A BC D解析已知f(x)2x为奇函数，故f(0)0，a1，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，故得到g(x)g(x)
12、，g(x)bxlog2(4x1)g(x)bxlog2(4x1)，化简得到b1，故得到f(ab)f(1)。故选D。答案D5(配合例5使用)已知函数yf(x)是R上的偶函数，满足f(x2)f(x2)f(2)，且当x0,2时，f(x)2x4，令函数g(x)f(x)m，若g(x)在区间10,2上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1x2x3x4x5x6_。解析因为函数yf(x)是R上的偶函数，所以f(2)f(2)，由f(x2)f(x2)f(2)，令x0，可得f(2)0，因此f(x2)f(x2)，即f(x4)f(x)，所以周期T4。作出函数f(x)在10,2上的图象及直线ym如图
13、所示。由图象可知f(x)的图象在10,2上有3条对称轴，分别为x8，x4，x0，所以6个零点之和为2(8)2(4)2024。答案24奇偶函数的一组扩充性质函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用。【性质1】若函数f(x)是奇函数，且g(x)f(x)c，则必有g(x)g(x)2c。【简证】由于函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以g(x)g(x)f(x)cf(
14、x)c2c。【典例1】已知函数f(x)ax3bsinx4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg2)()A5 B1C3 D4【解析】设g(x)ax3bsinx，则f(x)g(x)4，且函数g(x)为奇函数。又lg(lg2)lg(log210)lg(lg2log210)lg10，所以f(lg(lg2)f(lg(log210)248，所以f(lg(lg2)3。故选C。【答案】C由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数。有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功。 【变式训练1】对于函数f(x)asinxbxc(其中a，b
15、R，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析设g(x)asinxbx，则f(x)g(x)c，且函数g(x)为奇函数。注意到cZ，所以f(1)f(1)2c为偶数。故选D。答案D【性质2】若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)f(xa)h的图象关于点(a，h)对称。【简证】函数g(x)f(xa)h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立。【典例2】函数f(x)的图象的对称中心为()A(4,6) B(2,3)C(4,3) D(2,6)【解析】设g(x)，则g(x)g(x)，故g(x)为奇函数。易知f(x)3
16、g(x2)3，所以函数f(x)的图象的对称中心为(2,3)。故选B。【答案】B此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解。 【变式训练2】设，分别满足方程332540，332520，则_。解析设g(x)x32x，则g(x)为单调递增的奇函数。设f(x)x33x25x，则f(x)g(x1)3，故f(x)的图象关于点(1,3)中心对称。观察题目条件332540，332520，知f()4，f()2。所以f()f()6，则点(，4)与点(，2)关于点(1,3)对称，故2。答案2【性质3】若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)。【简证】当x0时，|x|x，所以f(|x|)f(x)；当xf(2x1)成立的x的取值范围是()AB(1，)CD【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数。当x0时，f(x)ln(1x)，易知此时f(x)单调递增。所以f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，所以|x|2x1|，解得x0()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2解析由f(x)x38，知f(x)在0，)上单调递增，且f(2)0。所以，由已知条件可知f(x2)0f(|x2|)f(2)。所以|x2|2，解得x4。故选B。答案B