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1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系2019考纲考题考情1直线与圆的位置关系与判断方法2.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)。3.两圆公切线的条数1关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形。2两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0。 一、走进教材1(必修2P128练习T4改编)若直线xy10与圆(xa
2、)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，所以，即|a1|2，解得3a1。答案C2(必修2P133A组T9改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_。解析由得xy20。又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为。由勾股定理得弦长的一半为，所以所求弦长为2。答案2二、走近高考3(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析因为直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(2,
3、0)，B(0，2)，则|AB|2。由圆(x2)2y22可得圆心坐标为(2,0)，r，ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S|AB|dd，又圆心到直线的距离d2，则dmax3，dmin，所以2S6。故选A。答案A4(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_。解析根据题意，圆的方程可化为x2(y1)24，所以圆的圆心为(0，1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d，可知|AB|22。答案2三、走出误区微提醒：忽视分两圆内切与外切两种情形；忽视切线斜率k不存在的情形；求弦所在直线的方程时遗漏一解。5若圆x2y21与圆(x4)
4、2(ya)225相切，则常数a_。解析两圆的圆心距d，由两圆相切(外切或内切)，得51或51，解得a2或a0。答案2或06已知圆C：x2y29，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为_。解析由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y1k(x3)，所以kxy13k0，所以3，所以k，所以切线方程为4x3y150。综上，切线方程为x3或4x3y150。答案x3或4x3y1507若直线过点P且被圆x2y225截得的弦长是8，则该直线的方程为_。解析当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x3，代入圆的方程得y4，故该直线被圆截得的弦
5、长为8，满足题意。当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心到直线的距离d，则28，解得k，所以直线方程为3x4y150。综上所述，所求直线方程为x3或3x4y150。答案x3或3x4y150考点一 直线与圆的位置关系【例1】(2019西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A(，) B，C D解析数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1,0)到直线yk(x3)的距离应小于等于半径1，即1，解得k。故选D。解析：数形结合可知，直线l的斜率存在，设为k，当k1时，直线l的方
6、程为xy30，圆心(1,0)到直线l的距离为1，直线与圆相离，故排除A，B；当k时，直线l的方程为xy30，圆心(1,0)到直线l的距离为1，直线与圆相切，排除C。故选D。答案D判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法：利用d与r的关系。2代数法：联立方程之后利用判断。3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。 【变式训练】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定(2)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为()A相离 B相切C相交 D以上都有可能解析(1)因为M(a，
7、b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交。(2)直线2txy22t0恒过点(1，2)，因为12(2)2214(2)50，所以点(1，2)在圆x2y22x4y0内，故直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交。故选C。答案(1)B(2)C考点二 圆的弦长问题微点小专题方向1：圆的弦长问题【例2】(2019合肥模拟)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析因为圆x
8、2y22x2y20即(x1)2(y1)24，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，圆心到直线l的距离为d1，所以|AB|22，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx3，易知圆心C(1,1)到直线ykx3的距离d，因为d22r2，所以34，解得k，所以直线l的方程为yx3，即3x4y120。综上，直线l的方程为3x4y120或x0。故选B。答案B有关弦长问题通常有两种方法：(1)几何法；(2)代数法。对于几何法通常要构造直角三角形，但要注意斜率不存在这种特殊情况。 方向2：有关最值问题【例3】(2019南宁、柳州联考)过点(，0)作直线
9、l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_。解析令P(，0)，如图，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，AOB的面积取得最大值，此时过点O作OHAB于点H，则|OH|，于是sinOPH，易知OPH为锐角，所以OPH30，则直线AB的倾斜角为150，故直线AB的斜率为tan150。答案有关最值问题要充分考虑最值的几何意义，比如本例当OAOB时SAOB最大。 【题点对应练】1(方向1)经过三点A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|()A2 B2C3 D4解析根据A
10、，B两点的坐标特征可知圆心在直线x1上，设圆心为P(1，m)，则半径r|m2|，所以(m2)222m2，解得m0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x1)2y24，当x0时，y，所以|MN|2。故选A。答案A2(方向2)在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(xm)2(y2)240内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是_。解析由圆的方程知，圆心C(m,2)，半径r2，所以SABCr2sinACB20sinACB，所以当ACB时，SABC取得最大值20，此时ABC为等腰直角三角形，|AB|r4，则点C到AB的距离为2，所以2|P
11、C|2，即22，即16(m3)236，解得3m1或7m9。答案(3，17,9)考点三 圆与圆的位置关系【例4】已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450。(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长。解(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，所以|r1r2|d0)与圆O：x2y25交于相异两点A，B，若|2|，则实数m的取值范围是()A(，2) B(2,2)C(2，5) D(2，)解析因为直线x2ym0与圆O：x2y25交于相异两点A，B，所以O点到直线x2ym0的距离d2|，所以|2|2|，所以|4。所以4|25，即40，所以2m5。故选C。答案C4(配合例4使用)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，若圆C：(xa)2(ya2)21上存在一点M满足|MA|2|MO|，则实数a的取值范围是_。解析设满足|MA|2|MO|的点的坐标为M(x，y)，由题意有2，整理可得x2(y1)24，即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆x2(y1)24与圆C：(xa)2(ya2)21有交点，据此可得关于实数a的不等式组：解得综上可得，实数a的取值范围是0,3。答案0,3