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1、课时跟踪检测（五十二） 双曲线一、题点全面练1(2019襄阳联考)直线l：4x5y20经过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.解析：选A由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，4)，从而c5，b4，a3，双曲线C的离心率e.2(2019成都模拟)如图，已知双曲线E：1(a0，b0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|6，|BC|，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选B因为2c|AB|6，所以c3.因为|BC|，所以5a2b2.又c2a2b2，所以9a2，解得a
2、2或a(舍去)，故该双曲线的离心率e，故选B.3(2018武汉调研)已知点P在双曲线1(a0，b0)上，PFx轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选A由题意知F(c,0)，由PFx轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲线的渐近线方程为bxay0，由题意，得，解得c2b，又c2a2b2，所以a b，所以双曲线的离心率e.4(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B.3C2D4解析：选B由已知得双曲线的两条
3、渐近线方程为yx.设两条渐近线的夹角为2，则有tan ，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B.5(2019邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线yx与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为()A2B.C2D.解析：选D由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线yx代入双曲线C的方程，可得x ，所以c，所以2a2b2c2(b2a2)，即2(e21)e42e2，所以e44
4、e220.因为e1，所以e22，所以e ，故选D.6(2018辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.1B.y21C.1Dx21解析：选D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以ab2，又双曲线C的离心率为，所以 ，即b24a2，所以a21，b24，所以双曲线C的方程为x21，故选D.7焦点是(0，2)，且与双曲线1有相同的渐近线的双曲线的方程是_解析：由题意可知，双曲线是焦点在y轴上的等轴双曲线，故所求双曲线的方程为1.答案：
5、18(2018日照一模)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y24x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若SAOB2，则双曲线的离心率e_.解析：由题意，知抛物线的准线方程是x1，双曲线的渐近线方程是yx.当x1时，y，即A，B或A，B.所以SAOB212，即2，所以e.答案：9双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示四边形OABC为正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB.直线OA是渐近线，方程为yx，tanAOB1，即ab.又a
6、2b2c28，a2.答案：210已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为_解析：双曲线1(a0，b0)的离心率为2，e214，3，即b23a2，c2a2b24a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，3a)，3，渐近线方程为yx，则点A与点B到直线xy0的距离分别为d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29.双曲线的方程为1.答案：1二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等B.虚半轴长相等C实半轴长
7、相等D焦距相等解析：选D由0k9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由，得两双曲线的焦距相等2(2019石家庄模拟)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是()A.B.C2D.解析：选A由题意可知F1(c,0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横坐标为c，又点B在双曲线的右支上，所以B，因为直线F1B的倾斜角为30，所以，化简整理得，又b2c2a2，所以3c23a22ac0，两边同时除以a2得3e22e30，解得e或e(舍去)，故选A.3已知圆C：(x
8、3)2y24，定点A(3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为_解析：设动圆M的半径为R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2.由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a1，c3，b28.则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)答案：x21(x1)(二)交汇专练融会巧迁移4与向量交汇过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若2，则双曲线的离心率为()A.B. C.D2解析：选B由题意，F(c,0)设P(0,3m)，由2，可得点M的坐标为，OMPF，1，m2c2，M，由|OM|2|MF|2|OF|2，
9、|OM|a，|OF|c得，a22c2，解得a2c2，e，故选B.5与正弦定理交汇已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使(c是双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率e的取值范围为()A(1,1)B.(1,1)C(1,1D(1,1解析：选A由题意，知点P不是双曲线的顶点，否则无意义在PF1F2中，由正弦定理得，又，即|PF1|PF2|.由题意知点P在双曲线的右支上，故|PF1|PF2|2a，|PF2|PF2|2a，即|PF2|.由双曲线的几何性质，知|PF2|ca，ca，即c22aca20，e22e10，解得1e1.又e1，双曲线离心率的取值范围是(1，1)，
10、故选A.6与圆交汇已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2)B.(2，)C(1，)D(，)解析：选A如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，联立，得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故22c2，化简得b23a2，即c2a23a2，解得2，又双曲线的离心率e1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选A.(三)难点专练适情自主选7已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2
11、,0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b2c2，得b21，所以双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.(3)由(2)得xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.因为k1，所以213k20.所以m2.所以m的取值范围为(，2)