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1、精品名师归纳总结第一单元定积分的定义一、学习目标通过本节课的学习，明白定积分的概念二、内容讲解定积分的定义：三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1 运算定积分1xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：利用定积分的定义，为运算便利，可将区间 0 , 1 等分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：将区间0 , 11n 等分，每个小区间的长度为n，取 i 为每个小区间的右端点，得积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ni1分和
2、i 1 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算积分和得ni1i 1 nn1n2ini 11 1n 2nn 2（等差数列求和公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122nni1lim111lim 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n由此得i 1 nnn22n211xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由定积分的定义可知02其次单元 N-L公式一、学习目标通过本节课的学习，懂得并能娴熟运用N-L 公式二、内容讲解1.N-L 公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 F
3、x 是f x 的一个原函数，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bfa对于 N-L 公式作几点说明： xdxF bF a简记为bF x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定积分是一个确定的数值，它不依靠于对原函数的选取，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即: 如F x ,G x 均为f x 的原函数，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在公式bf xdxabF x abG x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
4、- - 欢迎下载精品名师归纳总结bf xdxaF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中假如把 b 换成 x ，就得到xf xdxaF xF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此结果看出，定积分和变上限x 之间有确定的对应关系，这就是一个函数，即定积分可以看作积分上限的函数在上式左端，积分上限x与积分变量 x 的含义是不同的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x再由等式右端可知af xdx是被积函数 f x 的一个原函数bbaf xdx与af t dt完全一样，由于baf xdxF xbaF t
5、babaf t dt说明定积分与积分变量选取的字母无关由 N L 公式可得baaf xdxbf tdtaaf xdx0三、例题讲解12例 1 运算0x d xF x解：由于f xx2，它的一个原函数为1 x 33，1x dx2131x3得0013F x如将原函数换为2131x322110，同样得x dxx 332013例 2 运算1ex dx解：由于f xe ，它的一个原函数为2xF xe ，得x1exd xex21e2e 11例 3 运算11e2 x dxe2x dx1 e 2 x2解：1c1e 2x dx111 e 2 x212e2e2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2
6、例 4 运算0x2x31dx3x 2x 31d x2 x31 29c解：220x2x31d x29x 331 205292例 5 运算1xexd x解：xex dx x1exc221xe x dx x1ex1e 2e例 6 运算1ln xd x解：ln xdxxln x1ce1ln xdxxln x1 1e1四、课堂练习与作业x1设F x0sin 2 tdtF ，求4.2利用 N-L 公式运算以下定积分：1（ 1）x 2d x2。（ 2）1x 2d x12。（ 3）0xe x d x20。（ 4）0111 2 。 2. （ 1） 3（ 2） 11 e1（ 3） 2（ 4） 21x cos xd
7、 x.第三单元定积分的性质一、学习目标通过本节课的学习，不定积分的性质，熟识定积分的直接积分法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、内容讲解1. 先回忆不定积分的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 1. f xg x dxf xdxg xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2.kf xdxkf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定积分与原函数有着亲密的关系，明显定积分也有类似的性质2. 定积分的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 1.b f xa
8、bg x dxbbf xdxabg xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2.kf xdxabkf xdxacb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 3.f xdxaf xdxaf x dxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：设F x 是f x 的一个原函数，由 N L 公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf xdxaF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
9、cf xdxaF cF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf xdxcF bF c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cf xdxabf xdxc F cF a F bF cF bF abf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个性质对运算定积分是特别重要的性质中的c 可以在区间 a , b内，也可以在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
10、 a , b外三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 运算 0 x22 cos xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 0 x22 cos xdxx 2dx0x 2dx02 cos xdx02cos xdx01 x 3302sin x 0133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x例 2求 01 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1,x1x1解：1x ,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x1 dx0
11、1x1dx02x1 dx111x 22x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x dx02 x1dx1202111122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、课堂练习与作业1. 运算以下定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21（ 1） 1x dx1x 2。（ 2） 0x 2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设函数5f xx2 ,13x ,01x0x1 ，求171f xd x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 1） 2（ 2） ln 232.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第四单元
12、定积分的换元积分法一、学习目标通过本节课的学习，把握定积分的换元积分法二、内容讲解定积分换元积分法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf xd x如 ab1f u x ua(x) d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且当 xa 时， u。当 xb 时， u就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf xd xaf1 udu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 运算21d x1 3x
13、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21dx解： 1 3 x11213 1 3x3x11) dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1213 1 3xd3x113x1u15 1 du32 u51 ln u321 ln 53ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 运算1 x2403 x3 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 43 x3
14、u ， du9x 2dx3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123x43x d x01u1 d u4911udu 9412 u 21493427可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa 2例 3 运算 0x2 dxa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方用三角公式替换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 xa sin t， d xa costdt ，且当 x0 时， t0 。当 xta 时，2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -
15、欢迎下载精品名师归纳总结aa 2x 2 d x得 02aa2 02a 22sin ta costdta 22 cos 2 tdt01cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 120cos 2t dtcos2（三角公式2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、课堂练习at221 sin 2t 2a2204可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算以下不定积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e ln 2 xd x2x4x2 d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 1
16、x。（ 2） 0五、课后作业运算以下定积分：11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结72xe 2 dx2 e x2dxx 1x 2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 2。（ 2） 1x。（ 3） 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31dxa（ 4）2 x ln x。（ 5）04x d x2.2 e7（1） 7e7 （ 2） e12e11（3） 3（ 4） ln ln 3ln ln 2（ 5）第五单元一、学习目标定积分的分部积分法通过本节课的学习，把握定积分的分部积分法二、内容讲解1. 不定积分分部积分公式：uv dxuvvu dxudv
17、uvvdub2. 定积分有类似的分部积分公式auv dxuvbabau vdxbb或audvbuv aavdu三、例题讲解2例 1 运算1xex d x2解：1xexd x21xex d xxex2211ex1d xe例 2 运算1ln xd xeee解1ln xdx1ln x x d xx ln x 1e 11xxdxe0e11例 3 运算02 3 x sin 2 xdx解：02 3x sin 2 xd x2 3 x1 cos 2 x dx023223234342cos 2 x02 cos 2 xd xsin 2 x0034可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、课堂练习可编辑资
18、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x设xx cos xdx0试求（ 1） F F 。（ 2）F F 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变上限定积分是被积函数的一个原函数F F 2F xdx2，xf t dt 0f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x由于xxcos xdx0x cos xF ，所以cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、课后作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算以下定积分：3 xe2 xdx5ln xd
19、xe x3ln xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 1。（ 2） 1。（ 3） 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）2 x cos 2 xdx0。（ 5）e1 lnex dx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 e61 e21 3e41122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 44。（ 2） 5 ln 54 。（ 3） 16。（ 4）2 。（ 5）e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第六单元广义
20、积分一、学习目标通过本节课的学习，明白无穷积分及收敛、发散的概念二、内容讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定积分是在有限区间论，这就是广义积分： a, b 上争论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结广义积分（或称无穷积分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limbbf xd xaf xd xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limabf x dxabf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在上两个定义式中，如左端的极限存在，就
21、称右端的无穷积分收敛。如左端的极限不存在，就称右端的无穷积分 发散三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 运算广义积分 11 dxx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 d xb 1limd xblim 1lim 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1x 2b1 x 2bx 1bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 运算广义积分0e 2xd xb可编辑资料 - -
22、 - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xb2xlim1 e 2xlim1 1e 2b 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e解： 0d xlimedxb b020b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0例 3 运算广义积分0xe x2 d x00201x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xe x 2 dx解：limaxe x2 dxalimaa1 e x d2x2 limea2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、课堂练习lima1 12e a2 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算以下广义积分积分：1可编辑资料
23、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 0x2 e2 x3 d x1。（ 2）2 dxx 3bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于无穷积分af xd x，先求f xd xa，再求limbf xdxa，如此极限存在，它就是所求的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积分值如此极限不存在，就af xd x发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用凑微分法x 2 eb02 x3 d xbe 2 x 3 d x303可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、课后作业求以下广义积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xe x 2 d xln x d x1 d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 0。（ 2）24。（ 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1xx1（ 1） 2 。（ 2） 1。（ 3）发散可编辑资料 - - - 欢迎下载