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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高等代数北大版第三章线性方程组知识总结.精品文档.第三章 线性方程组（ * * * ）一、复习指导：线性方程组这一章节是一个十分重要的章节，在这一章节中，有三大考点：1.极大线性无关组 2.判断非齐次线性方程解的个数 3.求齐次/非齐次线性方程的基础解系。除此之外，本章节所有涉及到的知识点都要仔细看，不能够忽略掉任何一个细小的知识点。二、考点精讲：（一）线性相关性 1.定义线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组a1, a2,as 中有没有向量可以用其它的s-1个向量线性表示的问题. 设a1,a2,as 是n维向量组,如果存在不全
2、为0的一组数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,则说a1,a2,as 线性相关,否则(即要使得c1a1+c2a2+csas=0,必须c1,c2,cs全为0)就说它们线性无关.于是, a1,a2,as “线性相关还是无关”也就是向量方程x1a1+ x2a2+xsas=0“有没有非零解”,也就是以(a1,a2,as )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.2.性质 当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,as 一定线性相关.如果向量的个数s等于维数n,则 a1,
3、 a2,an线性相关| a1, a2,an|=0. 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量). 如果a1,a2,as 线性无关,而a1,a2,as ,b线性相关,则b可用a1,a2,as 线性表示. 如果b可用a1,a2,as 线性表示,则表示方式唯一a1,a2,as 线性无关. 如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示，并且ts,则b1,b2,bt线性相关.推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等. 3.向量组的极大线性无关组和秩（1定义向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无
4、关的部分组. 设a1,a2,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 (I) 线性无关. (I) 再扩大就线性相关. 就称(I)为a1,a2,as 的一个极大无关组.条件可换为:任何aI都可用(I) 线性表示,也就是(I) 与a1,a2,as 等价.当a1,a2,as 不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等.如果a1,a2,as 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为a1,a2,as 的秩,记作r(a1,a2,as).如果a1,a2,as 全是零向量,则规定r(a1,a2,as)=0. 由定义得出: 如果
5、r(a1,a2,as)=k,则i) a1,a2,as 的一个部分组如果含有多于k个向量,则它一定的相关.ii) a1,a2,as 的每个含有k个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.（二）线性方程组1.线性方程组的基本概念方程组（），称（）为元齐次线性方程组。方程组（）称（）为元非齐线性方程组，方程组（）又称为方程组（）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。2.线性方程组解的结构（1）设为齐次线性方程组的解，则为的解，其中为任意常数。特殊情形，及（为任意常数）都是的解。（2）设为齐次线性方程组的解，为非齐线性方程组的解，则为方程组的解。（3）设为非齐线性方程组的解，则为的解。（4）设为的一组解，
6、则为的解的充分必要条件是。（一） 线性方程组的解1.基本定理（1）齐次线性方程：齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是；齐次线性方程组有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是。（2）非齐次线性方程：非齐线性方程组无解的充分必要条件是。有解的充分必要条件是。更进一步地，当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多个解。2.线性方程组的基础解系和通解（1）齐次方程组的基础解系如果齐次方程组AX=0有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX=0的基础解系.于是, 当h1, h2,hs是AX=0的基础解系时:向量h是AX=0的解h可用h1, h2,hs线性表示.定理 设
7、AX=0有n个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A ).于是,判别一组向量h1, h2,hs是AX=0的基础解系的条件为 h1, h2,hs是AX=0的一组解. h1, h2,hs线性无关. s=n-r(A ). 推论 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n.证 记B=(b1, b2, bs),则Abi=0,i=1,2, ,s,即每个bi都是齐次方程组AX=0的解,从而r(B)= r(b1, b2, bs)n-r(A),即r(A)+r(B)n.（2）线性方程组的通解如果h1, h2,hs是齐次方程组AX=0的基础解系,则AX=0的通解(一般解)为 c1h1+ c2h2+ cshs, 其中c1, c2,cs,可取任何常数.如果x0是非齐次方程组AX=b的解, h1,h2, ,hs是导出组AX=0的基础解系,则AX=b的通解(一般解)为x0+c1h1+c2h2+cshs, 其中c1, c2,cs,可取任何常数.（五）理论拓展定理1 若，则的列向量组为方程组的解。定理2 若与同解，则。定理3 与的公共解即为的解。三、首师大真题：