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1、第十一章统计与统计案例第一节随机抽样(全国卷5年0考),【知识梳理】1.简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取n个个体作为样本(nN);_地抽取;每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_;常用方法:_和_.,逐个不放回,相等,抽签法,随机数法,2.系统抽样抽取方法:,3.分层抽样,【常用结论】1.必记结论(1)三种抽样方法的共同特征三种抽样方法的共同特征是等概率不放回抽取,即抽取方法是逐一不放回抽取;每个个体被抽到的概率都是.,(2)三种抽样方法的差异三种抽取方法的差异主要体现在适用的范围上,简单随机抽样适用于总体容量较小的;系统抽样适用于总体容量较大,且均衡的;分层抽样适用于总体由差异明显
2、的几部分组的.,2.常用方法一是利用系统抽样时确定间隔不是整数时,二是分层抽样时在某一层抽取的样本数不是整数时,都需要先剔除个别个体,再抽取样本.,【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)“搅拌均匀”是保证抽签法产生样本代表性的关键.(),(2)利用系统抽样抽取样本时,按需要剔除几个个体,则对于被剔除的个体是不公平的.()(3)在分层抽样的过程中,哪一层的样本越多,该层中个体抽取到的可能性越大.(),提示:(1).由抽签法的抽取原理可知正确.(2).因为剔除个体是随机的,对于每一个个体都是公平的.(3).分层抽样抽取个体时,每一层抽取的比例是相同的,每个个体
3、被抽到的可能性相同.,2.从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率()A.不全相等B.均不相等C.都相等且为D.都相等且为,【解析】选C.每个人入选的概率都一样,都是.,3.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得224粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.169石B.192石C.1367石D.1164石,【解析】选B.由题意,这批米内夹谷约为1536=192石.,题组二:走进教材1.(必修3P63T2改
4、编)要完成下列两项调查:(1)某社区有110户高收入家庭,300户中等收入家庭,90户低收入家庭,从中抽取100户调查消费购买力的某项指标;(2)从某中学高二年级的15名体育特长生中抽取5人调查学习负担情况,应采取的抽样方法是(),A.(1)用系统抽样法,(2)用简单随机抽样法B.(1)用分层抽样法,(2)用系统抽样法C.(1)用分层抽样法,(2)用简单随机抽样法D.(1)(2)都用分层抽样法,【解析】选C.(1)由于家庭收入差异较大,故(1)应该使用分层抽样.(2)从某中学高二年级的15名体育特长生中抽取5人调查学习负担情况,由于人数较少,故使用简单随机抽样.,2.(必修3P57T2改编)福
5、利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,32,33这33个二位号码中选取,小明利用如表所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第15列和第16列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为(),A.12B.32C.06D.16,【解析】选B.第15列和第16列的数字为90,从左到右依次选取两个数字,依次为12,33,06,32,则第四个被选中的红色球号码为32.,3.(必修3P60探究改编)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最
6、合适的抽样方法是_.,【解析】根据题干中有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,可知最合适的抽样方法是分层抽样.答案:分层抽样,4.(必修3P64T5改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_件.,【解析】所求件数为60=18,故答案为18.答案:18,考点一简单随机抽样【题组练透】1.要完成下列两项调查:(1)从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1000根火腿肠进行“瘦肉精”检测.(2)从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负
7、担情况.适合采用的抽样方法依次为(),A.(1)用分层抽样,(2)简单随机抽样B.(1)用系统抽样,(2)用简单随机抽样C.(1)(2)都用系统抽样D.(1)(2)都用简单随机抽样,【解析】选B.由于抽取数量较大,因此(1)适合用系统抽样.(2)中样本容量较小,适合用简单随机抽样.,2.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号为150,为了了解他们在课外的兴趣,要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是()A.抽签法B.分层抽样法C.随机数表法D.系统抽样法,【解析】选D.当样本容量N较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,在第1段内采用简单随
8、机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.,3.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋牛奶进行检验,利用教材中随机数表抽样时先将800袋牛奶按000,001,002,.799进行编号如果从随机数表第8行第8列开始向右读,请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号_.,【解析】找到第8行第8列的数开始向右读,第一个符合条件的是169,第二个数是555,第3个数是671,第四个数是105,第五个数是071.答案:071,【规律方法】1.简单随机抽样的特点(1)抽取的个体数较少.(2)是逐个抽取.(3)是不放回抽取.(4)是等可能抽
9、取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.,2.抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.,考点二系统抽样【典例】(1)某班有学生52人,先用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知座位是6号,32号,45号的同学都在样本中那么样本中还有一位同学的座位号是_.,(2)某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从1到800进行编号,已知从3348这16个数中取的数是39,则在第1小组1
10、16中随机抽到的数是_.,【解析】(1)用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大成等差数列,设样本中还有一位同学的座位号是x,将号码从小到大排列:6,x,32,45,它们构成公差为13的等差数列,因此,另一学生的座位号为6+13=19.答案:19,(2)样本间隔为80050=16,因为从3348这16个数中取的数是39,所以在第1小组116中随机抽到的数是39-216=7.答案:7,【误区警示】本例(1)易出现忽视系统抽样抽取的号码为等差数列致误.,【互动探究】本例(2)中,若抽取的最小号码为5,则抽取的最大号码是多少?【解析】抽取的最大号码为5+(50-1)16=789.,【规律方法】1.系统
11、抽样中所抽取编号的特点系统抽样又称等距抽样,所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列,首项就是第1组所抽取样本的号码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.,2.抽样间隔不是整数的处理策略系统抽样时,如果总体中的个数不能被样本容量整除时,可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,然后再按系统抽样进行.,【对点训练】1.某班有学生60人,现将所有学生按1,2,3,60随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本(等距抽样),已知编号为3,33,48号学生在样本中,则样本中另一个学生的编号为()A.28B.23C.18D.13,【解析】选C.某班有学
12、生60人,现将所有学生按1,2,3,60随机编号,采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本(等距抽样),所以抽样间隔f=15,因为编号为3,33,48号学生在样本中,所以样本中另一个学生的编号为3+15=18.,2.某校高一年级3个学部共有800名学生,编号为001,002,.800从001到270在第一学部,从271到546在第二学部,从547到800在第三学部,采用系统抽样的方法从中抽取100名学生进行成绩调查,且随机抽取的号码为004,则第二学部被抽取的人数为_.,【解析】样本间隔为800100=8,则抽出的号码为4+8(n-1)=8n-4,由2718n-4546,解得n,即34n68,
13、则n=35,36,68,共有68-35+1=34(人).答案:34,考点三分层抽样【明考点知考法】分层抽样是高考考查的热点,主要涉及抽取样本数计算,以及与分层抽样相关的综合抽取问题.,命题角度1利用分层抽样抽取样本【典例】如图所示,某学校共有教师120人,从中选出一个30人的样本,其中被选出的青年女教师的人数为(),A.12人B.6人C.4人D.3人,【解析】选D.青年教师占的比例为1-30%-40%=30%,则青年教师的人数为12030%=36人,因为青年男教师24人,所以青年女教师为12人,故青年女教师被选出的人数为12=3人.,【状元笔记】分层抽样抽取样本的方法首先确定抽取比例,再用抽取
14、比例乘以每层的样本容量,即可得到每层需要抽取的样本数,命题角度2求样本容量【典例】某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生抽取70人,则n为_.,【解析】分层抽样的抽取比例为=,总体个数为3500+1500=5000,样本容量n=5000=100.答案:100,【状元笔记】分层抽样中抽取比例的应用,利用这个比例关系,可以求相应未知量的值.,命题角度3分层抽样的综合应用【典例】(2018衡阳模拟)某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了统计表格,由于不小心,表格
15、中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容,量比C产品的样本容量多10,根据以上信息可得C产品的数量是_件.,【解析】设样本的容量为x,则1300=130,所以x=300.所以A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,y=80,所以C产品的数量为80=800.答案:800,【状元笔记】分层抽样与数表、统计图表等结合的综合性题目,需要先利用相关知识求出各层的人数,再利用分层抽样抽取.,【对点练找规律】1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,其数量之比依次是347,现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本
16、,样本中A型号产品有15件,那么n等于()A.50B.60C.70D.80,【解析】选C.根据分层抽样的定义和方法,可得解得n=70.,2.(2019临沂模拟)我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣()A.104人B.108人C.112人D.120人,【解析】选B.由题意可得,3.某校高一年级三个班共有学生120名,这三个班的男、女生人数如表所示.已知在全年级中随机抽取1名学生,抽到二班女生的概率是0.2,则x=_.现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生,则应在三班抽取的学生人数为_.,【解
17、析】x=1200.2=24,三班共有120-84=36(人),故应在三班抽取36=9(人).答案:249,数学能力系列25解决随机抽样问题中的数据分析能力,【能力诠释】数据分析能力包括对数据,表格,图形的识别和分析,是数据运算的前提,是重要的数学素养和数学能力.,解决此类问题需要关注:(1)此类题目一般信息量较大,因此迅速读通题意,分析表格、图形特征,提取相关信息、数据至关重要.(2)把握题目类型特征,根据题意确定抽取样本方式,最后进行数据运算.,【典例】(2018成都模拟)如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图,阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各5
18、00名(假设所有学生都参加了调查),现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人,则抽取的男生人数为_.,【解析】根据等高条形图知,该年级喜欢篮球运动的男生有5000.6=300(人),女生有5000.2=100(人);从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人,则抽取的男生人数为=24(人).答案:24,【技法点拨】关于几种抽样的关键点(1)分层抽样的关键是分清各层样本数和抽取比例.(2)系统抽样的关键点是确定抽取间隔.(3)利用随机数抽取样本的关键是理解抽取原则,依次抽取.,【即时训练】某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本,若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取_人.,【解析】由年龄分布情况图可得40岁以下年龄段应抽取4050%=20(人).答案:20,