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1、第三节圆的方程(全国卷5年5考),【知识梳理】1.圆的定义及方程,定点,定长,(x-a)2+(y-b)2=r2,(r0),(a,b),x2+y2+Dx+Ey+F=0,2.点与圆的位置关系(1)理论依据:_与_的距离与半径的大小关系.(2)三种情况圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),点,圆心,(x0-a)2+(y0-b)2_r2点M在圆上;(x0-a)2+(y0-b)2_r2点M在圆外;(x0-a)2+(y0-b)2_r2点M在圆内.,=,0.2.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题.3.过x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程
2、:x0 x+y0y=r2.,【基础自测】题组一:走出误区1.思维辨析(在括号内打“”或“”).(1)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(),(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为,半径为的圆.()(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F0.(),(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(),【解析】(1).t0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆.(2).a2+(2a)2-4
3、(2a2+a-1)0,即-20.,(4).设M(x,y)是圆上异于直径端点A,B的点,由得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,2.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),PAB是直角三角形,则动点P的轨迹方程为_.,【解析】若PAB=90,则P在直线x=-2上,由P、A、B三点构成三角形知,y0;若PBA=90,则P在直线x=2上,且y0;若APB=90,则P在圆x2+y2=4上,且y0,综上,P的轨迹方程为x=2(y0)或x2+y2=4(y0).答案:x=2(y0)或x2+y2=4(y0),题组二:走进教材1.(必修2P120例3改编)过点A(1,-1)
4、,B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4,【解析】选C.设圆心C的坐标为(a,b),圆的半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0上,所以b=2-a.因为|CA|2=|CB|2,所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2.所以a=1,b=1.所以r=2.所以方程为(x-1)2+(y-1)2=4.,2.(2016全国卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()(源于必修2P1
5、07例5)A.-B.-C.D.2,【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=解得a=-.,3.(必修2P119例2改编)ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外接圆的方程为_.,【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由题意有解得故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.答案:x2+y2-4x-2y-20=0,方法二:由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2,线段BC的中垂线方程为x+y-3=0,所以圆心是两中垂线的交点(2,1),半径r=故所求圆的
6、方程为(x-2)2+(y-1)2=25.即x2+y2-4x-2y-20=0.答案:x2+y2-4x-2y-20=0,考点一求圆的方程【题组练透】1.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=4,【解析】选A.根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.,【巧思妙解】选A.因为圆心在y轴上,所以排除C;因为半径长为1,所以排除D;把点A的坐标代入方程知A选项成立.
7、,2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为()A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=1,【解析】选A.因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+y2=1.,3.圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为_.,【解析】设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2
8、),半径r=,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.答案:(x+1)2+(y+2)2=10,【一题多解微课】题3还可以采用以下方法求解:方法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得,解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.答案:(x+1)2+(y+2)2=10,方法二:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为,由题意得解得D=2,E=4,F=-5,故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.答案:x2+y2+2x+4y-5=0,4.(2019南昌模拟)若圆C经过坐标原点与点(4,0),且
9、与直线y=1相切,则圆C的方程是_.,【解析】因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),设圆心为(2,m),又因为圆与直线y=1相切,所以解得m=-,所以圆C的方程为(x-2)2+答案:(x-2)2+,【规律方法】1.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.,(2)待定系数法:根据题意,选择标准方程与一般方程;根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.,2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.(3)两圆相切
10、时,切点与两圆圆心共线.提醒:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.,考点二与圆有关的轨迹问题【典例】(1)(2019贵阳模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为_.,(2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2.求圆心P的轨迹方程;若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.,【解析】(1)设P(x,y),圆心C(1,1).因为P点是过点A的弦的中点,所以.又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.,所以
11、P点的轨迹方程为+(y-2)2=.答案:+(y-2)2=,【一题多解】本题还可以采用以下方法:由已知得,PAPC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为,|AC|=所以半径为.所求动点P的轨迹方程为+(y-2)2=.,答案:+(y-2)2=(2)设P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2,所以y2+2=x2+3,即y2-x2=1.所以点P的轨迹方程为y2-x2=1;,设点P的坐标为(x0,y0),则即|x0-y0|=1.所以y0=x01.当y0=x0+1时,由得(x0+1)2-=1,所以所以r2=3,所以圆P的方程为x2+(y-1)2=3
12、;,当y0=x0-1时,由得(x0-1)2-=1,所以所以r2=3,所以圆P的方程为x2+(y+1)2=3.综上所述,圆P的方程为x2+(y1)2=3.,【误区警示】在求与圆有关的轨迹方程时,一定要做到该分类讨论的要分类讨论,该舍去的点一定要舍去.,【规律方法】与圆有关的轨迹问题的四种求法,【对点训练】1.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1,【解析】选A.设点M(x0,y0)为圆x2+y2=4上任一点,PM中点为Q(x,y),则
13、所以代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.,2.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则点M的轨迹方程为_.,【解析】圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0.即(x-1)2+(y-3)2=2.答案:(x-1)2+(y-3)2=2,考点三与圆有关的最值问题【明考点知考法】与圆有关的最值问题,多以选择题或填空题的形式呈现,试
14、题难度不大.考查借助几何性质,建立函数关系求最值.,命题角度1借助几何性质求最值【典例】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为,当P,A,B不共线时,PAB面积的最大值是(),A.2B.C.D.,【解析】选A.如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),因为所以两边平方整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,所以PAB面积的最大值为22=
15、2.,【状元笔记】与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如=形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.,(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,命题角度2建立函数关系求最值【典例】若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为世纪金榜导学号()A.2B.2C.4D.4,【解析】选B.易得|PA|2+|PB|2=4,由基本不等式得所以|PA|+|PB|2.,(2)过点P(-1,1)作圆C:(x-t)2+
16、(y-t+2)2=1(tR)的切线,切点分别为A,B,则的最小值为(),【解析】选C.由已知,圆心坐标为C(t,t-2),半径r=1,其中|PC|2=(-1-t)2+(1-t+2)2=2t2-4t+10,|PA|2=|PB|2=|PC|2-1=2t2-4t+9,cosAPC=,cosAPB=2cos2APC-1=2-1=,利用平面向量数量积的定义有cosAPB=(2t2-4t+9)=(t2-2t+5)+(t2-2t+4),设m=t2-2t+4,(m3),则=m+(m+1)=2(m+1)+-3,结合对勾函数的性质得,f(m)=2(m+1)+-3,在区间3,+)上单调递增,当m=3时,()min=
17、24+-3=.,【状元笔记】建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.,【对点练找规律】1.(2019拉萨模拟)已知点P在圆C:x2+y2-4x-2y+4=0上运动,则点P到直线l:x-2y-5=0的距离的最小值是()A.4B.C.+1D.-1,【解析】选D.圆C化为(x-2)2+(y-1)2=1,圆心C(2,1)半径为1,先求圆心到直线的距离则圆上一点P到直线l:x-2y-5=0的距离的最小值是-1.,2.(2018沈阳模拟)已知圆C的方程为x2-2x+y2=0,直线l:kx-y+2-2k=0与圆C交于A,B两点,则当AB
18、C面积最大时,直线l的斜率k=()A.1B.6C.1或7D.2或6,【解析】选C.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为C(1,0),半径r=1.直线l变形为y=k(x-2)+2,过定点(2,2),记ACB=,由面积公式,得S=r2sin=sin,当=时,ABC面积最大,此时,点C到直线l距离为解得k=1或7.,3.(2019兰州模拟)若直线ax+by+1=0(a0,b0)把圆(x+4)2+(y+1)2=16分成面积相等的两部分,则的最小值为()A.10B.8C.5D.4,【解析】选B.因为圆(x+4)2+(y+1)2=16的圆心坐标为(-4,-1),直线ax+by+1=0把圆分成面积
19、相等的两部分,所以该直线过点(-4,-1),-4a-b+1=0,即4a+b=1,=()(4a+b)=4+4+2=8,当且仅当a=,b=时取“=”.,数学能力系列直观想象在圆的方程中的应用【能力诠释】借助几何直观想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题.借助空间想象认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学,问题;建立数与形的联系,构建数学问题直观模型,探索解决问题的思路.以学过的圆的相关知识为基础,借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”,然后利用“直观想象”解决新问题.,【典例】(2018深圳模拟)已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1
20、)2+y2=1上任意一点,则PAB面积的最大值与最小值分别是_.,【解析】如图,圆心(1,0)到直线AB:2x-y+2=0的距离d=,所以点P到直线AB距离的最大值是+1,最小值是-1,又|AB|=,所以PAB面积的最大值,最小值分别是2+,2-.答案:2+,2-,【技法点拨】求最值的常用方法方法一:构造函数法:本题关键是引入变量构造PAB面积的函数.方法二:数形结合:利用图形确定PAB高何时最大,何时最小,进而求最值.,【即时训练】如图,在等腰ABC中,已知|AB|=|AC|,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积为_.,【解析】由已知|AB|=2|AD|,设点A(x,y),则(x+1)2+y2=4(x-2)2+y2,所以点A的轨迹方程为(x-3)2+y2=4(y0),设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0)知A(4-x,-y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4,即(x-1)2+y2=4(y0),所以点C的轨迹所包围的图形面积为4.答案:4,