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1、第三节二项式定理(全国卷5年7考),【知识梳理】1.二项式定理,2.二项式系数的性质,【常用结论】1.(a+b)n的展开式的三个重要特征(1)项数:项数为n+1.(2)各项次数:各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数和为n.,(3)顺序:字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项增1直到n.,2.各二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数和等于2n,即=2n.(2)(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,都等于2n-1,即=2n-1.,【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(
2、正确的打“”,错误的打“”)(1)an-kbk是(a+b)n的展开式的第k项.()(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(),(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.()(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.(),提示:(1).二项式展开式中an-kbk是第k+1项.(2).二项式系数最大的项为中间一项或中间两项.而系数最大的项的位置不固定.(3).由二项式系数的定义可知此说法正确.(4).由二项式展开式中项的系数的定义可知,此说法正确.,2.在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则n的值是()A.
3、4B.5C.6D.7,【解析】选C.因为二项展开式中中间一项或两项的二项式系数最大,又二项式系数最大的项只有第4项,所以展开式中共有7项,所以n=6.,3.的展开式中,第4项的二项式系数是_,第4项的系数是_.,【解析】Tk+1=(x2)9-k当k=3时,T4=所以第4项的二项式系数为=84,项的系数为-.答案:84-,题组二:走进教材1.(选修2-3P31例2(1)改编)的展开式的第4项的系数为()A.-1320B.1320C.-220D.220,【解析】选C.的展开式的第4项T4=其系数为,2.(选修2-3P37A组T8改编)若(1+ax)7(a0)的展开式中x5与x6的系数相等,则a=_
4、.【解析】展开式的通项为Tr+1=(ax)r,因为x5与x6系数相等,所以a5=a6,解得a=3.答案:3,考点一二项式定理的应用【题组练透】1.若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b等于()A.33B.29C.23D.19,【解析】选B.因为(1+)4=1+4+12+8+4=17+12=a+b,又因为a,b为有理数,所以a=17,b=12.所以a+b=29.,2.i是虚数单位,则=()A.8iB.-8iC.8D.-16+16i【解析】选B.原式=(1+i)6=-8i.,3.设aZ,且0a13,若512012+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12,【解析】选D.5
5、12012+a=a+(1-134)2012=a+1-(134)+(134)2-(134)3+(134)2012,显然当a+1=13,即a=12时,512012+a能被13整除.故a=12.,4.化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).,【解析】原式=(x-1)+15-1=x5-1.,5.写出的展开式.,【解析】方法一:,方法二:=(16x4+32x3+24x2+8x+1)=16x2+32x+24+.,【规律方法】1.正用、逆用二项式定理(1)正用展开二项式:展开时注意二项式定理的结构特征,对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.(2)逆用化简多
6、项式:求解时,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.,2.求解整除或余数问题的基本步骤(1)合理变形,常用的变形方法就是拆数,往往是将底数写成两数的和,并且其中一个数是除数的倍数.(2)用二项式定理展开,保证展开后的大部分项是除数的倍数,进而可证明或判断被除数能否被除数整除,若不能整除,则可求出余数.,考点二二项式系数的性质与各项的和【典例】(1)若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则a0+a2+a4+a2n等于(),(2)已知(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.求展开式中各项系数的和;求展开式中含的项;求展开式中系数最大的项和
7、二项式系数最大的项.,【解析】(1)选D.设f(x)=(1+x+x2)n,则f(1)=3n=a0+a1+a2+a2n,f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+a2n,由+得2(a0+a2+a4+a2n)=f(1)+f(-1),所以a0+a2+a4+a2n=,【答题模板微课】本例的模板化过程:建模板:设f(x)=(1+x+x2)n,则f(1)=3n=a0+a1+a2+a2n,f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+a2n,赋值,由+得2(a0+a2+a4+a2n)=f(1)+f(-1),所以a0+a2+a4+a2n=.运算,套模板:若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a8x8,则
8、a1+a2+a7=()A.-2B.-3C.125D.-131,【解析】选C.令x=1,则a0+a1+a2+a8=-2,令x=0,则a0=1.赋值又a8=(-2)7=-128,所以a1+a2+a7=-2-1-(-128)=125.运算,(2)由题意知,第五项系数为(-2)4,第三项的系数为(-2)2,则有化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).,令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.通项公式Tk+1=令则k=1,故展开式中含的项为T2=-16.,设展开式中的第k项,第k+1项,第k+2项的系数绝对值分别为若第k+1项的系数绝对值最大,则解得5k6.,又T6的系数为负,所以系
9、数最大的项为T7=1792x-11.由n=8知第5项二项式系数最大,此时T5=1120 x-6.,【规律方法】1.赋值法求系数和的应用技巧(1)“赋值法”对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.,(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),偶次项系数之和为a0+a2+a4+=,奇次项系数之和为a1+a3+a5+=.令x=0,可得a0=f(0).,2.求展开式中系数最大的项求(a+bx
10、)n(a,bR)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,An+1,且第k项系数最大,由不等式组解出k,即可求得.,【对点训练】(2x-3y)4的展开式中二项式系数最大的项为_.【解析】展开式共有五项,二项式系数最大的项为T2+1=(2x)2(-3y)2=216x2y2.答案:216x2y2,考点三二项展开式的通项公式的应用【明考点知考法】在高考题中,二项展开式的通项公式的应用是二项式定理的主要考点,试题常以选择题、填空题形式出现,考查与二项展开式中特定项有关的问题.解题过程中常渗透方程思想.,命题角度1形如(a+b)n的展开式问题【典例】二项式的展开式的
11、第5项的系数为,则实数a的值为_.,【解析】因为展开式的第5项为T5=所以第5项的系数为.由已知,得所以a4=81,即a=3或-3.答案:3或-3,【互动探究】本例条件不变,求展开式中x10的系数.,【解析】二项展开式的通项Tr+1=(2x3)6-r=(-a)r26-3rx18-4r,令18-4r=10,解得r=2,所以T3=(-a)2x10,又因为a=3,所以T3=135x10,所以展开式中x10的系数是135.,【状元笔记】关于形如(a+b)n的展开式的两类问题(1)求展开式中的特定项或其系数.可依据条件写出第k+1项,再由特定项的特点求出k值即可.(2)已知展开式的某项或其系数求参数.可
12、由通项公式写出第k+1项,由已知项得出k值,最后求出其参数.,命题角度2形如(a+b)m(c+d)n的展开式问题【典例】若(x+a)2的展开式中常数项为-1,则a的值为()A.1B.8C.-1或-9D.1或9,【解析】选D.因为(x+a)2=x2+2ax+a2,展开式的通项为Tr+1=(-1)r=(-1)rxr-5,所以(x+a)2展开式的常数项为-+2a-a2,所以-+2a-a2=-1,解得a=1或9.,【状元笔记】形如(a+b)n(c+d)m展开式问题的三个处理策略(1)若n,m中一个比较小,可考虑把它展开,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.
13、,(2)观察(a+b)n(c+d)m是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=(1+x)(1-x)5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2.(3)分别得到(a+b)n,(c+d)m的通项公式,综合考虑.,命题角度3形如(a+b+c)n的展开式问题【典例】(2018枣阳模拟)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60,【解析】选C.(x2+x+y)5的展开式的通项为Tr+1=yr,令r=2,则T3=(x2+x)3y2,又(x2+x)3的展开式的通项为(x2)3-kxk=x6-k,令6-k=5,则k=1,所以(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为=3
14、0.,【状元笔记】形如(a+b+c)n的展开式问题的两个解题策略(1)分组转化为二项式,例如(a+b+c)n=(a+b)+cn,展开式的通项Tr+1=(a+b)n-rcr,再根据(a+b)n-r的展开式的通项,确定(a+b+c)n的展开式中的特定项.,(2)配方转化为二项式:例如,【对点练找规律】1.(2019蚌埠模拟)已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2=()A.18B.24C.36D.56,【解析】选B.对于等式(2x-1)4=(2x-2)+14=1+(2x-2)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+
15、a4(x-1)4,a2=22=24.,2.(2018龙岩模拟)已知二项式,则展开式的常数项为()A.-1B.1C.-47D.49,【解析】选B.所以二项式中的常数项产生在1,6中,分别是1,62(-2x),(-2x)2,它们的和为1-24+24=1.,3.在(2x+1)(x-1)5的展开式中含x3项的系数是_.(用数字作答)【解析】由题易得二项式的展开式中含x3项的系数为(-1)2+2(-1)3=-10.答案:-10,数学能力系列29求二项式定理问题中的运算求解能力【能力诠释】运算求解能力是指会根据法则、公式进行准确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径.,二项式
16、定理问题中的运算求解注意以下三点:(1)合理利用二项展开式的通项公式计算有关项的系数.(2)根据题目条件,设计运算程序,并恰当赋值得到所需等式.(3)注意函数与方程思想的应用.,【典例】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN*)的展开式中,x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值;(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.,【解析】(1)由已知得=11,所以m+2n=11.x2的系数为因为mN*,所以m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.,(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3.所以f(x)=(1+x)5+(
17、1+2x)3.设f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.,【技法点拨】二项式定理中的常见问题(1)二项式定理的通项公式的应用可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且nr,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求的项.,(2)二项式系数和二项展开式中项的系数问题二项式系数的最值问题可以直接利用相关结论直接判断;二项展开式中项的系数和问题应注意赋值法,项的系数的最值问题,一般采用待定系数法,列不等式组求解.,【即时训练】已知函数f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n(n3).(1)求展开式中x2的系数.(2)求展开式中系数之和.,【解析】(1)展开式中x2的系数为,(2)展开式中的系数之和为f(1)=2+22+23+2n=2n+1-2.,