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1、(七)数列(A)1已知数列an的前n项和为Sn，且Snan4，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)已知cn2n3(nN*)，记dncnlogC an(C0且C1)，是否存在这样的常数C，使得数列dn是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由；(3)若对于数列bn及任意的正整数n，均有b1anb2an1b3an2bna1n成立，求证：数列bn是等差数列(1)解a14a1，所以a12，由Snan4，得当n2时，Sn1an14，两式相减，得2anan1，所以，数列an是以2为首项，为公比的等比数列，所以an22n(nN*)(2)解由于数列dn是常数列，dncnlogC an2n3(2n
2、)logC22n32logC2nlogC2(2logC2)n32logC2为常数，则2logC20，由C0且C1，解得C，此时dn7.(3)证明b1anb2an1b3an2bna1n，当n1时，b1a11，其中a12，所以b1.当n2时，b1an1b2an2b3an3bn1a1n1，式两边同时乘以，得b1anb2an1b3an2bn1a2n，由，得bna1，所以bn(nN*，n2)，且bn1bn，又b1，所以数列bn是以为首项，为公差的等差数列2在数列an中，已知a1，an1an，nN*，设Sn为an的前n项和(1)求证：数列3nan是等差数列；(2)求Sn；(3)是否存在正整数p，q，r(p
3、qr)，使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由(1)证明因为an1an，所以3n1an13nan2.又因为a1，所以31a11，所以3nan是首项为1，公差为2的等差数列(2)解由(1)知3nan1(n1)(2)32n，所以an(32n)n，所以Sn11(1)2(3)3(32n)n，所以Sn12(1)3(52n)n(32n)n1，两式相减，得Sn2(32n)n12(2n3)n12nn1，所以Sn.(3)解假设存在正整数p，q，r(pqr)，使Sp，Sq，Sr成等差数列，则2SqSpSr，即.当n2时，an(32n)n0，所以数列Sn单调递减又p0，所以，等
4、式不成立当q2时，p1，所以，所以，所以r3(Sn单调递减，解唯一确定)综上可知，存在正整数p1，q2，r3，使得Sp，Sq，Sr成等差数列3设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”(1)若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列bn是否为“和等比数列”，并给出证明；(2)若数列cn是首项为c1，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，试探究d与c1之间的等量关系解(1)数列bn为“和等比数列”，证明如下：因为数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1，因此bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn为“和等比数列”(2)设数列cn的前n项和为Rn，且k(k0)因为数列cn是等差数列，所以Rnnc1d，R2n2nc1d，所以k对于nN*都成立，化简，得(k4)dn(k2)(2c1d)0，则因为d0，所以k4，d2c1，因此d与c1之间的等量关系为d2c1.