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1、仿真冲刺卷(四)(时间:120分钟满分:150分)第卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M=0,1,则满足MN=0,1,2的集合N的个数是()(A)2(B)3(C)4(D)82.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则z2z1等于()(A)15+25i(B)25+15i(C)-15-25i(D)-25-15i3.(2018河南郑州一中质检)若a=sin xdx,则二项式(a-1x)6展开式的常数项是()(A)160 (B)20 (C)-20 (D)-1604.小王的手机使用的是每月300M流量套餐
2、,如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况,下列叙述中正确的是()第4题图(A)1日10日这10天的平均流量小于9.0M/日(B)11日30日这20天,如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量(C)从1日10日这10天的流量中任选连续3天的流量,则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大(D)从1日10日这10天中的流量中任选连续3天的流量,则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小5.(2018成都二诊)已知函数f(x)对任意xR都有f(x+4)-f(x) =2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(2 018)等于()(A)2(B)3
3、(C)4(D)06.若12an+1an2(nN*),则称an是“紧密数列”.若an(n=1,2,3,4)是“紧密数列”,且a1=1,a2=32,a3=x,a4=4,则x的取值范围为()(A)1,3) (B)1,3 (C)2,3 (D)2,3)7.(2018安徽淮北一模)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()第7题图(A)73(B)(C)83(D)8.(2018山东、湖北重点中学三模)在满足条件的区域内任取一点M(x,y),则点M(x,y)满足不等式(x-1)2+y20)的准线l与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点,若PMF=30, =0,则|
4、PF|PN|等于()(A) (B)32 (C)2 (D)4312.若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点M,N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=则此函数的“和谐点对”有()(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018山西太原模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=+
5、,则实数+=.14.在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为.15.已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,2Sn=(n+1)an,若存在唯一的正整数n使得不等式-tan-2t20成立,则实数t的取值范围为.16.已知曲线y=ex+a与y=(x-1)2恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别
6、为a,b,c,已知1+tanAtanB=.(1)求A;(2)若BC边上的中线AM=22,高线AH=3,求ABC的面积.18.(本小题满分12分)在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=2,D为AA1的中点,BD与AB1交于点O,CO侧面ABB1A1.(1)证明:BCAB1;(2)若OC=OA,求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)(2018江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10 000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N(120,25),该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学
7、成绩进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩;(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的期望.附:若XN(,2),则P(-3X0时,g(x)f(x).请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是=4cos .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交
8、于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)3;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若tM,证明:t2+1+3t.1.C由题意得2N0,1,2,因此集合N的个数是22=4个,选C.2.C由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以z2z1=-15-25i.故选C.3.D因为a=sin xdx=-cos x|0=2,所以(a-1x)6=(2-1x)6的展开式的通项为Tr+1=(-1)r26-rC6rx3-r.令3-r=0,得r=3.故展开式的常数项是-8=-160,故
9、选D.4.C(6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2)=9.14,故A错误;1120+91.4=311.4300,这个月总流量超过套餐流量,故B错误;结合图象可知C正确,D错误.故选C.5.D令x=-2,则f(2)-f(-2)=2f(2),所以f(2)=-f(-2),又y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,f(x)为偶函数.所以f(2)=f(-2),所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),所以T=4,f(2 018)=f(2)=0.故选D.6.Ca2a1=3212,2,依题意可得解得2x3,故x的取值范围为
10、2,3.故选C.7.B由三视图得该几何体是从四棱锥PABCD中挖去一个半圆锥,四棱锥的底面是以2为边长的正方形,高是2,圆锥的底面半径是1,高是2,所以所求的体积V=13222-1213122=,故选B.8.B由约束条件作出可行域,如图,则A(1,0),B(3,4),C(-2,9).所以AB=(3-1)2+42=25,AC=(1+2)2+92=3.tanBAC= -3-21-32=1,所以BAC=.因为SABC=12253sin=15.可行域落在(x-1)2+y2=1内的扇形面积为1812=.故所求概率为=.故选B.9.B执行程序框图,第一次,s=0,n=1,T=1,s=1,不满足n9,n=2
11、;第二次,T=-4,s=-3,不满足n9,n=3;第三次,T=9,s=6,不满足n9,n=4;第四次,T=-16,s=-10,不满足n9,n=5;第五次,T=25,s=15,不满足n9,n=6;第六次,T=-36,s=-21,不满足n9,n=7;第七次,T=49,s=28,不满足n9,n=8;第八次,T=-64,s=-36,不满足n9,n=9;第九次,T=81,s=45,不满足n9,n=10;第十次,T=-100,s=-55,满足n9,输出s=-55,故选B.10.C已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=4,AC=2,BAC= 60,则BC=23,所以BCAC,此直角三角形内切圆
12、半径r=3-1,又因为该棱柱的体积为26,可得AA1=2,而=0)的准线l与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点,设P点到准线的距离为d,因为PMF=30,则d=|PF|=|PM|,又因为=0,所以PMPN,故|PM|=3|PN|,故|PF|PN|=32|PM|PN|=3=32,故选B.12.B作出f(x)=ex,x0的图象如图所示,f(x)的“和谐点对”数可转化为y=ex(x0)和y=-x2-4x(x丙+丁,丁乙+丙,两边同加丙+乙,得甲+丙+2乙乙+丁+2丙,所以乙丙,由知丁乙丙,由得甲-丁=乙-丙0,所以甲丁.故阅读量由大到小为甲、丁、乙、丙.答案:甲
13、、丁、乙、丙15.解析:n2时,an=Sn-Sn-1=(n+1)an2-nan-12,整理得=,又a1=1,故an=n,不等式-tan-2t20可化为n2-tn-2t20,设f(n)=n2-tn-2t2,由于f(0)=-2t20,由题意可得解得-2t-1或12t1),则有em+a=2(s-1),即为a=ln 2(s-1)-(s1),令f(s)=ln 2(s-1)-(s1),则f(s)=-12,当s3时,f(s)0,f(s)递减,当1s0,f(s)递增.即有s=3处f(s)取得极大值,也为最大值,且为2ln 2-3,由恰好存在两条公切线,即s有两解,可得a的范围是a2ln 2-3.答案:(-,2
14、ln 2-3)17.解:(1)因为1+tanAtanB=,所以1+sinAcosBsinBcosA=,即sin(A+B)sinBcosA=,因为sin(A+B)=sin C0,sin B0,所以cos A=12,又因为A(0,),所以A=.(2)由M是BC中点,得=12(+),即=14(+2),所以c2+b2+bc=32,由S=12AHBC=12ABACsin A,得bc=3a,即bc=2a,又根据余弦定理,有a2=b2+c2-bc,联立,得(bc2)2=32-2bc,解得bc=8.所以ABC的面积S=12bcsin A=23.18.(1)证明:由题意,因为ABB1A1是矩形,D为AA1的中点
15、,AB=1,AA1=2,AD=,所以在直角三角形ABB1中,tanAB1B=.在直角三角形ABD中,tanABD=ADAB=,所以AB1B=ABD.又因为BAB1+AB1B=90,所以BAB1+ABD=90,所以BOA=90,即BDAB1.又因为CO侧面ABB1A1,AB1侧面ABB1A1,所以COAB1.因为COBD=O,所以AB1平面BCD.因为BC平面BCD,所以BCAB1.(2)解:如图,以O为原点,分别以OD,OB1,OC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-,0),B(-,0,0),C(0,0,),B1(0, 233,0),D(,0,0).又因为=2,所以C1(
16、,233,),所以=(-,0),=(0,),DC1=(,233,),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAC=0,即-63x+33y=0,33y+33z=0,可得n=(1,2,-2)是平面ABC的一个法向量.设直线C1D与平面ABC所成角为,则sin =|DC1n|DC1|n|=35555.19.解:(1)由频率分布直方图可知125,135)的频率为1-10 (0.010+0.024+0.030+0.016+0.008)=0.12,该校高三年级数学的平均成绩为900.1+1000.24+1100.3+1200.16+1300.12+1400.08= 112(分).(2)由
17、于1310 000=0.001 3,由正态分布得P(120-35X0,y1+y2=-6mt3m2+4,y1y2=3t2-123m2+4.由M,N,S三点共线知kMS=kNS,即y1x1-4=,y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,整理,得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,所以=0,即24m(t-1)=0,t=1.所以直线MP过定点D(1,0),同理可得直线NQ也过定点D(1,0)(或由对称性判断),即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0).21.(1)解:由题设得f(x)=ex-2ax,所以f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a+1=b+2,解得
18、a=1,b=e-2.(2)证明:由(1)知,f(x)=ex-x2+1,令函数h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-(e-2)x-1,所以h(x)=ex-2x-(e-2),令函数(x)=h(x),则(x)=ex-2,当x(0,ln 2)时,(x)0,h(x)单调递增,又h(0)=3-e0,h(1)=0,0ln 21,h(ln 2)0;当x(x0,1),h(x)0时,g(x)f(x).22.解:(1)由=4cos 得2=4cos .因为x=cos ,y=sin ,x2+y2=2,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程得(tcos -1)2+(tsin )2=4,化简得t2-2tcos -3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2cos,t1t2=-3,所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4cos2+12=.所以4cos2=2,cos =,=或34.23.(1)解:依题意,得f(x)=则不等式f(x)3,即为或-1x0,所以(t-3)(t2+1)t0,所以t2+1+3t.