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1、灵台县第二中学灵台县第二中学 周建国周建国我从以下三个方面对本课的设计进行说明： 一 教材分析 二 教学方法和手段 三 教学程序教材的地位和作用 本节课垂直于弦的直径是圆的轴对称性的具体化，它将几何中的垂直等问题在圆中进一步延续和深化。 在本节课的学习中，能使学生经历“观察，体验，猜想，证明”等数学学习过程，培养学生数学建模能力。 本节课在教材中起承上启下的作用，是今后进一步研究圆，圆与其它知识综合的重要的预备知识。教学目标 知识与技能：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，并能运用其解决相关的计算和证明，养成勇于探索，敢于创新的习惯。 过程与方法：在研究
2、过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法及用 数学语言表达数学问题的能力. 情感与态度：通过创建和引导学生所参与的情景，激发学生强烈的好奇心和求知欲，在探究中体验成功的喜悦。培养独立思考、敢于质疑、善于表达的习惯。教学重难点重点：探究，发现，理解和掌握垂径定理。难点：定理的证明及它的几个推论之间实质性的联系和应用。教学方法和手段以参与式探究教学法为主以学生手中的圆形纸片为工具以多媒体演示为辅助问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧
3、的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴
4、它的对称轴在自己的圆形纸片中做一条弦在自己的圆形纸片中做一条弦AB，再做直径，再做直径CD，使，使CDAB，垂足为垂足为E沿沿CD所在的直线折叠，你能发现图中有那些相等的所在的直线折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？线段和弧？为什么？OABCDE活动二活动二 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分
5、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧讨论讨论（1）过圆心（）过圆心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧 （5）平分）平分弦所对的劣弧弦所对的劣弧OABCDE根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论推出其他三个结论
6、结论结论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧（4） （5） （6） （7） （8） （9）3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1
7、 1半径为半径为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 O的直径为的直径为10cm，圆心，圆心O到弦到弦AB的的 距离为距离为3cm，则弦，则弦AB的长是的长是 。4：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。E.ACDBO解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件
8、。线，为应用垂径定理创造条件。BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半，半径为径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高7.218.7现有一宽现有一宽16米，船舱顶部为长方形，且高出水米，船舱顶部为长方形，且高出水面面5.9米的船能否通过这座弓桥？米的船能否通过这座弓桥？CNMAEHFBDO圆是轴对称图形圆是轴对称图形,
9、 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. .垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. . 垂径定理垂径定理: :在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论板书设计板书设计垂直于弦的直径垂直于弦的直径探索一：圆的对称性探索二： 垂径定理 推论定理证明：定理证明：归纳要点：归纳要点：大屏幕投影大屏幕投影