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1、精品名师归纳总结高三数学其次轮专题复习系列5- 平面对量一、本章学问结构：二、高考要求1、懂得向量的概念，把握向量的几何表示，明白共线向量的概念。2、把握向量的加法和减法的运算法就及运算律。3、把握实数与向量的积的运算法就及运算律，懂得两个向量共线的充要条件。4、明白平面对量基本定理，懂得平面对量的坐标的概念，把握平面对量的坐标运算。 5、把握平面对量的数量积及其几何意义，明白用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，把握向量垂直的条件。6、把握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能娴熟运用。把握平移公式。7、把握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学
2、，连续提高运用所学学问解决实际问题的才能。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1. 以挑选、 填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判定多边形外形等问题.2. 以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大， 以解析几何中的常规题为主 .3. 向量在空间中的应用在B 类教材中 .在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示， 运用运算的方法争论三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，把握双基、熟知课本是本章关键.分析近几年来的高考试题， 有关平面对量部分突
3、出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面对量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础学问和基本技能。四、复习建议由于本章学问分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章学问解决的问题也分为两类：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一类是依据向量的概念、定理、 法就、公式对向量进行运算，并能运用向量学问解决平面 几何中的一些运算和证明问题。另一类是运用正、 余弦定理正确的解斜三角形，并能应用解斜三角形学问解决测量不行到达的两点
4、间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确 的进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的熟悉，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算表达了数与形相互转化和亲密结合的思想， 所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的才能。五、典型例题平面对量【例 1】在以下各命题中为真命题的是假设 a = x1,y1、 b =x2,y2，就 a b =x1 y1+x2
5、y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 A x1,y1、B x2,y2，就 AB =x1x 2 y1y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22假设 a = x1,y1、 b =x2,y2,就 a b =0x1x2+y1y2=0假设 a = x1,y1、 b =x2,y2，就 a bx1 x2+y1y2=0 A 、B、C、D、解： 依据向量数量积的坐标表示。假设a=x 1,y1,b = x2,y2，就 a b =x1x2+y1y2，对比命题 1 的结论可知，它是一个假命题、于是对比挑选支的结论、可以排除A 与D ，而在 B 与C 中均含有 3 、故不必对 3 进
6、行判定，它肯定是正确的、对命题2 而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题， 这样就以排除了 C，应挑选 B 、说明： 对于命题 3 而言，由于 a b =0a = 0 或 b = 0 或 a bx1x2 +y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题 4 来讲，a bx1x2+y1y2=0、但反过来， 当 x1x2+y1y2=0 时，可以是 x1=y1=0， 即 a = 0 ，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0a b ，所以命题 4 是个假命题、【例 2】已知 a = 3 , 1,b =1,3 ，那么 a ， b 的夹角 = A 、30B 、60
7、C、120 D 、150 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： a b = 3 , 1 1， 3 = 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a =32 1 2 =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b =123 2 =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cos=a . b=2 3 =3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a . b222【例 3】已知 a =2,1,b = 1,3,假设存在向量 c 使得： a c =4,b
8、c =9，试求向量c 的坐标、解： 设 c =x,y,就由 a c =4 可得：2x+y=4。又由 b c = 9 可得： x+3y= 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是有：2 xy4x3y912可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1+22 得 7y= 14, y= 2,将它代入 1 可得： x=3 c =3, 2、说明： 已知两向量 a ， b 可以求出它们的数量积a b ，但是反过来， 假设已知向量a 及数量积 a b ，却不能确定 b 、【例 4】求向量 a=1,2 在向量 b =2， 2方向上的投影、解： 设向量 a与 b 的夹角 、可编辑资料 - -
9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结有 cosa . b=122210=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a . b122222 2 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 在 b 方向上的投影 = a cos= 5 10 =2102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 5】已知 ABC 的顶点分别为A2 ，1，B3 ，2，C 3， 1，BC 边上的高 AD ，求 AD 及点 D 的坐标、解： 设点 D 的坐标为 x,y AD 是边 BC 上的高，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD B
10、C ， AD BC又 C、B、D 三点共线， BC BD又 AD = x 2,y 1,BC = 6,3BD =x 3,y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 x 6 y23 y1023 x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组，得 x= 9 ,y= 755可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 D 的坐标为 9 ，7 ， AD 的坐标为 1 ， 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5555【例 6】设向量 a、 b 满意： a b =1，且 a + b =1 ，0，求 a， b 、解： a b =1，可编辑资料 - - - 欢
11、迎下载精品名师归纳总结可设 a =cos ,sin b,=cos ,sin、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a + b =cos +cos,sin +sin ，=1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos sin cos 1sin 01 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1得： cos=1 cos 3由2得： sin =sin 4= cos=1 cos12 sin =3 ,sin= 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a 1 ,3a22或b 1 ,3b2221 ,3221 ,322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
12、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 7】对于向量的集合 A= v =x,y x2+y2 1中的任意两个向量v1 、v2与两个 非负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实数 、。求证：向量v1+v2的大小不超过 +、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 设 v1=x1,y1 ， v2=x2,y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据已知条件有：x212122+y 1x, 2+y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于
13、 v +v =xx 2 yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22= x12y1 22 x22y2 2 x1 x2y1 y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy11其中 x1x2+y1y22222xy221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 v +v 222= += +12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】已知梯形 ABCD 中， AB CD ， CDA= DAB=90 ,CD=DA=求证： AC BC1 AB 、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
14、纳总结证明： 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1就 A0 ， 0、 B2 ，0、C1 ， 1、D0 ， 1 BC = 1,1,AC =1,1BC AC = 11+1 1=0 BC AC 、【例 9】已知 A0 ，a,B0,b,0 a b，在 x 轴的正半轴上求点C，使 ACB 最大，并求出最大值、解，设 Cx,0 x 0就 CA = x,a,CB = x,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 CA CB =x2+ab、CA . CBcos ACB=x2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CA . CBx2a 2x 2b
15、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 t=x2+ab故 cos ACB=aba1b 2 1ab 2 . 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t 2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 1 = t1 即 t=2 ab 时， cosACB 最大值为2ab2 ab 、ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 C 的坐标为 ab ,0时， ACB 最大值为 arccos 2aab 、b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 10】
16、如图，四边形 ABCD 是正方形， P 是对角线 BD 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一点， PECF 是矩形，用向量法证明(1) PA=EF2PA EF证明： 建立如下图坐标系，设正方形边长为1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OP =就, A0 ， 1， P2 ， 22 ，E1 ，22 ，F22 ， 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PA = 2 ,122 , EF =22 1,22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 PA 2=2 2+1 22 2=2 2 +12
17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF 2=2 12+22 2=2 2 +12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PA 2= EF 2,故 PA=EF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) PA EF =2 22 1+1 22 22 =02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PA EF PA EF、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 11】已知 a1,0, b2,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求|
18、a3b |。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 为何实数时 ,k ab 与 a3b平行, 平行时它们是同向仍是反向？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：a3b= 1,0 + 32,1 = 7,3 , | a3b | =7232=58 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k ab = k1,02,1=k 2, 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 k ab = a3bk,即k 2, 1= 7,3,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
19、名师归纳总结 k273.1313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 k=1时, 它们反向平行 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 12】 已知 | a |2,| b |1, a 与 b 的夹角为,假设向量 2 akb 与 ab 垂直, 求 k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： a b| a | b| cos 33=21 1=1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 akb 与 ab 垂直 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精
20、品名师归纳总结 2akb ab = 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 a 22a bkabkb 20k = 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 13】 假如 ABC的三边 a、 b、c 满意 b2 + c 2 = 5 a2,BE、 CF分别为 AC边与 AB 上的中线 , 求证： BE CF.解：BE1 BABC, CF1 CBCA22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE CF12BA BCAB ACBC ABACBCBCCACBBA4CB CA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
21、师归纳总结 BABCAC1 1222122221222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 AB2AC25BC 2 1 b2c25a2 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结88 BE CF , 即 BECF .【例 14】 是否存在 4 个平面对量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直 .解： 如下图，在正 ABC 中， O 为其内心， P 为圆周上一点， 满意 PA ， PB， PC ， PO两两不共线，有 PA + PB PC + PO= PO + OA+ PO + OB PO + O
22、C + PO=2 PO + OA+ OB 2 PO + OC =2 PO OC 2 PO+ OC =4 PO 2 OC 2=4 PO 2 OC 2=0有 PA + PB 与 PC + PO 垂直、同理证其他情形、从而PA ， PB， PC ， PO 满意题意、故存在这样4 个平面对量、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面对量的综合应用1. 利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 15】已知向量OP1, OP2 ,OP3 满意条件OP1OP2OP30 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编
23、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OP1OP2OP31，求证：P1P2 P3 是正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：令 O 为坐标原点，可设P1 cos1,sin1 , P2cos2 ,sin2 , P3cos3, sin 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 OP1OP2OP3 ，即cos1, sin 1cos2 , sin 2cos3sin 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos1
24、 sin 1cos2 sin 2cos3 sin 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式平方和为 12 cos 1211 1 ， cos 12，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可知12 的最小正角为1200 ，即OP1 与 OP2的夹角为120 0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理可得OP 与 OP 的夹角为 120 0 ， OP与 OP 的夹角为1200 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精
25、品名师归纳总结1323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这说明P1, P2 , P3 三点匀称分部在一个单位圆上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以P1P2 P3 为等腰三角形 .【例 16】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图， 分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴建立直角坐标系，设A 2a,0 , B0,2a ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D a,0 , C 0,a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而可求： AC2a, a , BDa,
26、2a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosACBD AC BD2a, a5aa, 2a=5a4a245a 25 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 arccos4.52. 利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 17】已知ABC ，AD 为中线，求证AD 21 AB 222AC 2BC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：以 B 为坐标原点，以 BC所在的直线为x 轴建立如图 2 直角坐标系，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
27、结设 A a,b ,Cc,0 ， Dc,0，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就 AD2ca0b 22cac24a2b2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2221BCABAC.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 1a2b 22ca 2b 2c24a 2b 2c 2ac，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2从而 AD2122BCABAC，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
28、纳总结AD 21 AB 222AC 2BC.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结003. 利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 18】已知点 O 是ABC内的一点，AOB150 ，BOC90 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设OAa,OBb,OCc, 且 a2, b1, c3, 试用a,和b表示c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0解：以 O 为原点， OC， OB 所在的直线为x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标系 .可编辑资料 - -
29、 - 欢迎下载精品名师归纳总结由 OA=2，AOx120 ，所以A 2 cos1200 ,2sin1200,即A- 1，,3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易求 B0，- 1 ，C3,0 ，设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OA-131OB22OC,即1-3-1，31 0，-12 3,0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，1 .3- 12-31a3bc .3【例 19】如图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAOB1,OA与OB的
30、夹角为1200，OC与OA的夹角为30 0 , OC5 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 OA，OB 表示 OC.解：以 O 为坐标原点， 以 OA 所在的直线为x 轴，建立如下图的直角坐标系，就 A 1,0 ，由COA300 ，所以 C 5cos300 ,5 sin 30 0 , 即C 5322，5 ，同理可求 B1 ,322OC5 351OA2OB,即22，11，021-,3225 3252 - 1 122 1031322，2333.5OC1033OA5 33OB .4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例 20】 如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 的底面
31、ABCD 是菱形，且 C1CB= C1CD =BCD .1求证： C1C BD .2当 CD 的值为多少时， 能使 A1C平面 C1BD ？请给出证CC1明.1证明：设 CD =a,CD =b, CC1 =c,依题意， |a|=|b |， CD 、 CB 、CC1 中两两所成夹角为 ，于是 BDCDDB =a b ， CC1BD =ca b=ca cb=|c| |a|cos|c| |b|cos=0, C1C BD.2解：假设使 A1C平面 C1 BD，只须证 A1C BD ，A1C DC 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 CA1C1D CAAA1 CDCC1 可编辑资料
32、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结=a+b+c a c=|a|2+ab bc |c|2=|a|2 |c|2+|b| |a|cos |b| |c| cos=0, 得当|a|=|c |时， A1CDC 1，同理可证当 |a|=|c|时， A1CBD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD=1 时， A1C平面 C1BD.CC1【例 21】 如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面 ABC 中，CA=CB=1， BCA=90 ， AA1=2， M、 N 分别是A1B1、A1A的中点 .(1) 求 BN 的长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求 cos的值。可编
33、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 求证： A1B C1M.解： 1如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系O xyz.依题意得： B0，1， 0， N1， 0， 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 | BN |=10 201 21023 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：依题意得： A11， 0， 2， C0，0， 0， B10，1， 2. BA1 = 1, 1, 2, CB1 =0 ， 1， 2BA1 CB1 =10+ 1 1+2 2=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22| BA1 |=10201222 206可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| CB1 | 0010205可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosBA , CBBA1CB1330.可编辑资料