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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学其次轮专题复习系列 一、本章学问结构：二、高考要求5- 平面对量1、懂得向量的概念,把握向量的几何表示,明白共线向量的概念；2、把握向量的加法和减法的运算法就及运算律；3、把握实数与向量的积的运算法就及运算律,懂得两个向量共线的充要条件；4、明白平面对量基本定理,懂得平面对量的坐标的概念,把握平面对量的坐标运算；5、把握平面对量的数量积及其几何意义,明白用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,把握向量垂直的条件；6、把握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能娴熟运用；把握平移公式；7、把握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三
2、角形；8、通过解三角形的应用的教学,连续提高运用所学学问解决实际问题的才能；三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以挑选、 填空题型考查本章的基本概念和性质 .此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判定多边形外形等问题 . 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题 .此类题综合性比较强,难度大, 以解析几何中的常规题为主 . 3.向量在空间中的应用在B 类教材中 .在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用运算的方法争论三维空间几何图形的性质 . 在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本.因此,把握双基、熟知课本是本章关键.分析
3、近几年来的高考试题,有关平面对量部分突出考查了向量的基本运算；对于和解析几何相关的线段的定比分 点和平移等交叉内容,作为学习解析几何的基本工具,在相关内容中会进行考查；本 章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重点；总而言之,平面对量这一章的学习应 立足基础,强化运算,重视应用；考查的重点是基础学问和基本技能；四、复习建议 由于本章学问分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章学问解决的问题也分为两类：第 1 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一类是依据向量的概念、定理、 法就、公式对向量进行运算,并能运
4、用向量学问解决平面几何中的一些运算和证明问题；另一类是运用正、 余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形学问解决测量不行到达的两点间的距离问题；在解决关于向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,进一步加深对“ 向量” 这一二维性的量的本质的熟悉,并体会用向量处理问题的优越性；二是向量的坐标运算表达了数与形相互转化和亲密结合的思想,所以要通过向量法和坐标法的运用,进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用；在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的才能
5、；五、典型例题平面对量【例 1】在以下各命题中为真命题的是 假设 a = x1,y1、 b =x2,y2,就 a b =x1y1+x2y2假设 A x1,y1、Bx2,y2,就 AB =x1x 22y 1y22假设 a = x1,y1、 b =x2,y2,就 a b =0x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2=0 假设 a = x1,y1、 b =x2,y2,就 a bD、A、B、C、解： 依据向量数量积的坐标表示；假设a=x 1,y1, b = x2,y2,就 a b =x1x2+y1y2,对比命题 1 的结论可知,它是一个假命题、于是对比挑选支的结论、可以排除 进行判定,它肯定是正确的
6、、对命题A 与D ,而在 B 与C中均含有 3、故不必对 3 2而言,它就是两点间距离公式,故它是真命题,这样就以排除了C,应挑选 B 、a = 0 或 b = 0 或 a bx1x2+y1y2=0,故它说明： 对于命题 3而言,由于 a b =0是一个真命题、而对于命题 4来讲,a bx1x2+y1y2=0、但反过来,当 x1x2+y1y2=0 时,可以是 x1=y1=0,即 a = 0 ,而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定,因此x1x2+y1y2=0 a b ,所以命题 4是个假命题、【例 2】已知 a =3 ,1, b =1, 3 ,那么 a , b 的夹角 = A、
7、30B、60C、120D、150第 2 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： a b =3 ,1 1,3 =23 a =b3212=2 b =2 13 2=2 3cos =a.23 2=b22a.【例 3】已知 a =2,1, b =1,3,假设存在向量 c 使得： a c =4, b c =9,试求向量 c 的坐标、解： 设 c =x,y,就由 a c =4 可得：2x+y=4；又由 b c =9 可得： x+3y=9 于是有：2xyy491 x32由1+22 得 7y=14, y=2,将它代入
8、 1可得： x=3 c =3,2、说明： 已知两向量 a ,b 可以求出它们的数量积ab,但是反过来, 假设已知向量a及数量积 a b ,却不能确定 b 、【例 4】求向量 a=1,2 在向量 b =2, 2方向上的投影、解： 设向量 a与 b 的夹角 、有 cos =a.b=2 11222222=102 2.b22210a a 在 b 方向上的投影 = a cos = 5 10 =10【例 5】已知 ABC 的顶点分别为 求 AD 及点 D 的坐标、解： 设点 D 的坐标为 x,y AD 是边 BC 上的高,A2 ,1,B3,2,C3,1,BC 边上的高 AD ,第 3 页 共 27 页名师
9、归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - AD BC, AD BC 又 C、B、D 三点共线, BC BD 又 AD = x2,y1, BC =6,3 BD =x3,y2 6x2 3 y1 01 ,52 56y2 3 x30解方程组,得x=9 ,y= 575点 D 的坐标为 9 ,57 , AD 的坐标为 5【例 6】设向量 a、 b 满意： a b =1,且 a +b =1 ,0,求 a, b 、解： a b =1,可设 a =cos ,sin , b =cos ,sin a + b =cos +cos ,sin +sin
10、=1,0coscos1 1sinsin02 由1得： cos =1cos 3 由2得： sin =sin 4cos =1cos = 1 2sin =3 ,sin 2 =3,32 1中的任意两个向量1v 、2v 与两个非负2a1,3或a12222,3b1,3b12222【例 7】对于向量的集合A= v =x,yx2+y实数 、；求证：向量1v +v2的大小不超过 +、证明： 设1v =x1,y1,v 2=x2,y2 第 4 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据已知条件有：x21+y21 1,x22+
11、y221又由于 1v +v = x 1 x22 y 1 y 22,CD=DA=1 AB 、2=2x 12y 122x22y 222 x 1x2y 1y 2其中 x1x2+y1y22 x 12 y 1x2y2122所以 1v +v222 2 = += +【例 8】已知梯形 ABCD 中, AB CD , CDA= DAB=90求证： AC BC 证明： 以 A 为原点, AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系、如图,设AD=1 就 A0 ,0、 B2,0、C1,1、D0 ,1 BC =1,1, AC =1,1 BC AC =11+11=0 BCAC 、【例 9】已知 A0 ,a,B0,b,0 a
12、 b,在 x 轴的正半轴上求点 C,使 ACB 最大,并求出最大值、解,设 Cx,0x0 就 CA =x,a, CB =x,b 就 CA CB =x2+ab、cosACB=CA.CB=x2x22abb2CA.CBax2令 t=x2+ab 故 cos ACB=ab ab 21 ab2.11ab b、1t2t当1 = t1即 t=2 ab 时, cosACB 最大值为2ab、2 abab当 C 的坐标为 ab ,0时, ACB 最大值为 arccos2a【例 10】 如图,四边形ABCD 是正方形, P 是对角线BD 上的第 5 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,
13、共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一点, PECF 是矩形,用向量法证明1PA=EF 2PAEF ab垂直 , 求 k. 证明： 建立如下图坐标系,设正方形边长为1, OP = ,就 A0 ,1,P2 ,22 ,E1,22 ,F 22 ,0 2 PA =2 ,122 , EF = 22 1,22 21 PA 2=2 2+122 2=222 +1 EF 2=2 12+22 2=222 +1 PA 2= EF 2,故 PA=EF 2 PA EF =2 22 1+1 22 22 =0 2 PA EFPAEF、【例 11】已知a ,1 0 ,b 2 1, .求|a3 b|；
14、当 k 为何实数时 ,kab 与a3 b平行 , 平行时它们是同向仍是反向？解：a3 b= 1,0 + 32,1 = 7,3 , |a3 b|= 7232=58 . k ab = k1,02,1=k2,1. 设 k ab = a3 b,即k2,1= 7,3, k1237k1. 313故 k= 1 时, 它们反向平行 . 3【例 12】 已知|a|,2b|,1a与b的夹角为 ,假设向量 32akb与解：ab|a|b|cos=2 11 =1. 232ak b与ab垂直 , 第 6 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - -
15、- - - 2akb ab= 0 , 2a22 abk abk b20k = 5. 【例 13】 假如 ABC的三边 a、 b、c 满意 b2+ c 2 = 5 a2,BE、 CF分别为 AC边与 AB上的 中线 , 求证： BE CF. 解：BE1BABC CF1 CBCA BC21 CA2C B22 BA22BE CF1 4BA BCAB ACBC2CB CA 112 BABC22 AC1AB22 ACBC242221AB2AC25 BC212 b2 c2 5 a0,88 BE CF , 即 BECF .【例 14】 是否存在 4 个平面对量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个
16、向量之和垂直 . 解： 如下图,在正 ABC 中, O 为其内心, P 为圆周上一点,满意 PA , PB, PC , PO两两不共线,有 PA + PB PC + PO = PO +OA+ PO + OB PO + OC + PO =2 PO + OA+ OB 2 PO +OC =2 PO OC 2 PO+ OC =4 PO 2 OC 2 =4 PO 2 OC 2=0 有 PA + PB 与 PC + PO 垂直、同理证其他情形、从而PA , PB, PC , PO 满意题意、故存在这样4 个平面对量、第 7 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精
17、选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量的综合应用1利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题【例 15】已知向量OP 1,OP 2,OP 3满意条件OP 1OP 2OP 30,3,sin3OP 1OP 2OP 31,求证：P 1P 2P 3是正三角形解：令 O 为坐标原点,可设P 1cos1,sin1,P 2cos2,sin2,P 3cos由OP 1OP 2OP 3,即cos1,sin1cos2,sin2cos3sin3cos 1cos 2cos sin 1sin2sin3 两式平方和为12cos 1211,cos121,2由此可知12的最小正角为0 12
18、0 ,即OP 与OP 的夹角为0 120 ,同理可得OP 与 1OP 的夹角为 30 120 ,OP2与OP 的夹角为0 120 ,这说明P 1,P 2,P 3三点匀称分部在一个单位圆上,所以P 1P 2P 3为等腰三角形 . 【例 16】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图, 分别以等腰直角三角形的两直角边为. x 轴、 y轴建立直角坐标系,设A2 a0,B,0 2 a,就Da , 0,C0 ,a,从而可求：AC2 a ,a,BDa,2 a, cosACBD2a ,aa ,a2a=4a24ACBD5a55 a25arccos4. 52利用向量的坐标运算,解决有关线段的长
19、度问题【例 17】已知ABC ,AD 为中线,求证AD21AB2AC2BC222第 8 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：以 B 为坐标原点,以BC所在的直线为x 轴建立如图2 直角坐标系,设Aa ,b,Cc , 0,Dc,0,. aca2b2,c2,2就AD2c 2a2b2c2041AB22BC2a2b2ac. AC22b2c2b2c=1a2a2244从而AD21AB2AC2BC22,2AD21AB2AC2BC2223利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量【例 18】已知点 O 是 AB
20、C 内的一点,AOB 150 0,BOC 90 0,设 OA a , OB b , OC c , 且 a ,2 b ,1 c ,3 试用 a , 和 b 表示 c .解：以 O 为原点, OC,OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标系 . 由 OA=2,AOx 120 0,所以 A 2 cos 120 0, 2 sin 120 0, 即 A-1,3,易求 B 0,1,C 3,0,设OA 1 OB 2 OC 即-1,3 1 0 -1 2 3,0,-1 3 2 1- 33-1,2-1 .31a 3 b c . 3【例 19】如图,OAOB1,OA与OB 的夹角为0 120 O
21、C 与OA 的夹角为0 30 , OC5,第 9 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 用 OA OB表示OC .解：以 O 为坐标原点, 以 OA 所在的直线为x 轴,建立如下图的直角坐标系,就A,10,由COA300,所以C5cos30 0, 5sin300,即C523,52,同理可求B1,3222-1,3OC1OA2OB即5 3 5,2 211 0,225231-12 1103.23,53 2253223OC103OA533OB. 34利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例 20】 如图,已知平行
22、六面体ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD 是菱形,且 C1CB=C1CD =BCD . 1求证： C1CBD. 2当CD 的值为多少时, 能使 A1C平面 C1BD？请给出证 CC 1明. 1证明：设 CD =a, CD =b, CC =c,依题意, |a|=|b|, CD 、 CB 、CC 中两两所成 1夹角为 ,于是 BD CD DB =a b ,CC1 BD =cab=ca cb=|c| |a|cos|c| |b|cos=0,C1CBD. 2解：假设使 A1C平面 C1BD,只须证 A1CBD,A1CDC1,由 CA 1 C 1 D CA AA 1 CD CC 1 =a+b+c
23、ac=|a| 2+abbc|c| 2=|a| 2 |c|2+|b| |a|cos|b| |c| cos=0,得当|a|=|c|时, A1CDC 1,同理可证当 |a|=|c|时, A1CBD,第 10 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - CD=1 时, A1C平面 C1BD. CC 1【例 21】 如图,直三棱柱ABCA1B1C1,底面 ABC 中,CA=CB=1, BCA=90,AA1=2,M、 N 分别是 A1B1、A1A的中点 . 1求 BN 的长；2求 cos的值；3求证： A1BC1M.
24、解： 1如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 依题意得： B0,1,0,N1,0, 1 |BN |= 1 0 2 0 1 2 1 0 2 3 . 2解：依题意得：A11,0,2,C0,0, 0, B10,1, 2. BA = ,1 ,1 2 , CB =0,1, 2 BA 1CB 1 =10+1 1+22=3 2 2 2| BA |= 1 0 0 1 2 0 62 2 2| CB 1 | 0 0 1 0 2 0 5cos BA 1 , CB 1 BA 1 CB 1 3 30.| BC 1 | | CB 1 | 6 5 103证明：依题意得：C10,0,2,M 1 , 1 , 2
25、2 21 1C 1 M , , 0 , A 1 B ,1,1 2 2 2A 1 B C 1 M 1 11 1 2 0 0 , A 1 B C 1 M ,2 2 A1B C1M.5利用向量的数量积解决有关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距离,线到线的距离,线到面的距离,面到面的距离 . 【例 22】求平面内两点 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 间的距离公式解：设点 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,AB x 2 x 1 , y 2 y 1 第 11 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27
26、页精选学习资料 - - - - - - - - - |AB|x2x12y2y 12,而|AB|AB|点 A 与点 B 之间的距离为：|AB|x2x 12y2y12. 6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题【例 23】证明 : cos cos cos sin sin证明： 在单位圆 O 上任取两点 A, B,以 Ox 为始边, 以OA, OB 为 终 边 的 角 分 别 为 , 就 A 点 坐 标 为cos , sin , B 点坐标为 cos , sin ；就向量 OA cos , sin , OB cos , sin ,它们的夹角为,| OA | | OB | ,1 OA O
27、B cos cos sin sin ,由向量夹角公式得：cos OA OB cos cos sin sin ,从而得证 . | OA | OB |注：用同样的方法可证明 cos cos cos sin sin7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题 .【例 24】证明柯西不等式 x 1 2y 1 2 x 2 2y 2 2 x 1 x 2 y 1 y 2 2证明：令 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 （1） 当 a 0 或 b 0 时,a b x 1 x 2 y 1 y 2 0,结论明显成立；（2） 当 a 0 且 b 0 时,令 为 a, b 的夹角,就 0 , a b
28、x 1 x 2 y 1 y 2 | a | b | cos . 又 | cos | 1| a b | | a | b |当且仅当 a / b 时等号成立2 2 2 2| x 1 x 2 y 1 y 2 | x 1 y 1 x 2 y 22 2 2 2 2 x 1 x 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 .当且仅当 时等号成立y 1 y 22 2【例 25】求 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 的最值第 12 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - -
29、 解：原函数可变为y2sin2xcos2x,所以只须求ysin2xcos2x的最值即可,构造asin2x ,cos 2x,b1,1,那么sin2 xcos2xabab2. 故y max22,ymin22. 【例 26】三角形 ABC 中, A5, 1、B1,7、C1,2,求： 1BC 边上的中线AM 的长； 2CAB的平分线 AD 的长； 3cosABC的值 . 解： 1点 M 的坐标为 xM=110;y M|72219,M 0,9 2522|AM|502192221 2.5212222|AB|51 217210 |,ACD 点分 BC 的比为 2. xD=152121 3,yD7122111
30、223|AD|1 3111 32142.33ABC 是 BA 与 BC 的夹角,而BA =6,8, BC =2 , 5. cosABC|BABC|6262855 2522629BA|BC82221029145解斜三角形【例 1】已知 ABC 的三个内角A、B、C 满意 A+C=2B.1A1C2,求coscoscosBcosA2C的值 . 解法一：由题设条件知B=60 ,A+C=120 . 设 =A2C,就 AC=2,可得 A=60 +,C=60 ,第 13 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以1
31、A1C11coscoscos 60cos 6011cos3sin2cos3,1cos3sin1cos3sin1cos2cos24442222依题设条件有cos3cos2,cos 2B4cosB1,cos322.22 cos4整理得 42 cos2+2cos32 =0M 2cos2 22 cos+3=0 , 22 cos+3 0,2cos2A2C2. 2解法二：由题设条件知B=60 ,A+C=120cos222,1A12260coscos C把式化为cosA+cosC=22 cosAcosC,利用和差化积及积化和差公式,式可化为2cosA2CcosA2C2cosACcosAC,将 cosA2C=
32、cos60 =1 ,cosA+C=21 代入式得：2A2C3cosA2C22cosAC2将 cosAC=2cos2A2C1 代入 ：42 cos 2A2C+2cos2 =0,* ,2cosA2C2222cosA2C3 0,22cosA2C3,02cosA2C2,0从而得:cosA2C2.2【例 2】在海岛 A 上有一座海拔1 千米的山,山顶设有一个观看站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北30东,俯角为 60第 14 页 共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北60西、俯角为30的 C 处；1求船的航行速度是每小时多少千米；2又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D 处,问此时船距岛A 有多远？解： 1在 Rt PAB 中, APB=60 PA=1, AB=3千米 在 Rt PAC 中, APC=30 , AC=3千米 3在 ACB 中, CAB