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1、学习必备欢迎下载课题：二次函数综合应用(压轴题 ) 面积类1如图，已知抛物线经过点A（ 1， 0） 、B（3，0） 、C（ 0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于N，若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示MN 的长（3）在（ 2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，已知
2、点M 的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N 点的坐标， N、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长（3） 设 MN 交 x 轴于 D， 那么 BNC 的面积可表示为： SBNC=SMNC+SMNB=MN （OD+DB） =MN?OB，MN 的表达式在（ 2）中已求得， OB 的长易知，由此列出关于SBNC、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值解答：解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （ x3） ，则：a（0+1） （03）=3，a= 1；抛物线的解析式：y=（ x+1） （x3）= x2+2x+3（2）设直线BC 的解析式为： y=kx
3、+b，则有：，解得；故直线 BC 的解析式： y=x+3已知点 M 的横坐标为m，MNy，则 M（m， m+3） 、N（m， m2+2m+3） ；故 MN=m2+2m+3（ m+3）=m2+3m（ 0m3） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载（3）如图；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MN? OB，SBNC=（ m2+3m）?3=（ m）2+（0m3） ；当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为平行四边形类2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n 经过点 A（3，0）
4、、B（0， 3） ，点 P 是直线 AB上的动点，过点P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M，设点 P 的横坐标为t（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式（2）若点 P 在第四象限，连接AM、BM，当线段 PM 最长时，求ABM 的面积（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：（1） 分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A （3， 0）
5、B （0， 3） 分别代入y=x2+mx+n与 y=kx+b，得到关于m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（ t，t3） ，则 M（t， t22t3） ，用 P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM的长，即PM=（t3）（ t22t3） =t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当 t=时， PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可；（3）由 PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当P 在第一象精选学
6、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载限： PM=OB=3， （t22t3）（ t3）=3；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t 的值解答：解： （1）把 A（3，0）B（0， 3）代入 y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线 AB 的解析式是y=kx+b，把 A（3，0）B（0， 3）代入 y=kx+b，得，解得，所以直线AB 的解析式是y=x3；（2）设点 P 的坐标是（ t，t3） ，则 M（t， t22t3） ，因为 p
7、 在第四象限，所以 PM=（t3）（ t22t3）=t2+3t，当 t=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=，则 SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PMOB，当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有PM=3当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t22t3）（ t 3）=3，解得 t1=，t2=（舍去），所以 P 点的横坐标是；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t23t=3，解得 t1=（舍去），t2=，所以 P 点的横坐标是所以 P 点的横坐标是或等腰三角形类3如图，点
8、A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转120至 OB 的位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题；分类讨论分析：（1）首先根据OA 的旋转条件确定B 点位置，然后过B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA 长）确定B 点的坐标（2）
9、已知 O、 A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（ 2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P 点的坐标，而O、B 坐标已知，可先表示出OPB 三边的边长表达式，然后分OP=OB、 OP=BP、 OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P 点解答：解： （1）如图，过B 点作 BCx 轴，垂足为C，则 BCO=90 ， AOB=120 ， BOC=60 ，又 OA=OB=4， OC=OB= 4=2，BC=OB?sin60 =4=2，点 B 的坐标为（2， 2） ；（2）抛物线过原点O 和点 A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将 A（
10、4，0） ，B（ 2 2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为D，设点 P 的坐标为（ 2，y） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y= 2，当 y=2时，在 RtPOD 中， PDO=90 ，sinPOD=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载 POD =60 ， POB= POD+AOB=60 +120 =180 ，即 P、O、B 三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（ 2，
11、 2）若 OB=PB，则 42+|y+2|2=42，解得 y=2，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=2，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ，综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2， 2） ，综合类4如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为B（5，0） ，另一个交点为A，且与 y 轴交于点 C（0， 5） （1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下， MN 取得最
12、大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点， 以 BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为S1， ABN 的面积为S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析： （1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，将 B（ 5，0） ， C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；同理，将B（5， 0） ，C（0， 5）两点 的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN 的长是直线BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数
13、的性质即可求出MN 的最大值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载（3）先求出 ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30再设平行四边形CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点P，交 x 轴于点 E，在直线DE 上截取 PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形证明EBD 为等腰直角三角形，则 BE=BD=6，求出 E 的坐标为（ 1，0） ，运用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y=x1，然后解方程组，即可求出点P
14、 的坐标解答：解： （1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC 的解析式为y=x+5；将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x26x+5；（2）设 M（ x，x26x+5） （1x5） ，则 N（x， x+5） ，MN=（ x+5）（ x26x+5）=x2+5x=（ x）2+，当 x=时， MN 有最大值；（3） MN 取得最大值时，x=2.5， x+5=2.5+5=2.5，即 N（2.5，2.5） 解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5，A（1，0） ，B
15、（5，0） ，AB=51=4， ABN 的面积 S2= 4 2.5=5，平行四边形CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形CBPQ 的边 BC 上的高为BD，则 BC BDBC=5，BC? BD=30，BD=3过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载BCBD， OBC=45 ， EBD =45 ， EBD 为等腰直角三角形，BE=BD=6，B（5，0） ，E（ 1，0） ，设直线 PQ 的解析式为y=x+t，将 E（ 1，0）代入，得1+t=0，解得 t= 1 直线 PQ 的解析式为y=x1解方程组，得，点 P 的坐标为P1（2， 3） （与点 D 重合）或P2（3， 4） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页