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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课题：二次函数综合应用 压轴题 面积类1如图,已知抛物线经过点 A（ 1, 0）、B（3,0）、C（ 0,3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B,C 重合）,过 M 作 MN y 轴交抛物线于 N,如点 M 的横坐标为 m,请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（ 2）的条件下,连接 NB、NC,是否存在 m,使 BNC 的面积最大？如存在,求 m 的值；如不存在,说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标,出抛物线的解析式直接利用待定系数
2、法即可求（2）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式,已知点 M 的横坐标,代入直线 BC、抛物线的解析式中,可得到 M、N 点的坐标, N、M 纵坐标的差的肯定值即为 MN 的长（3）设 MN 交 x 轴于 D,那么 BNC 的面积可表示为： S BNC=S MNC+S MNB=MN（OD+DB）=MN .OB,MN 的表达式在（ 2）中已求得, OB 的长易知,由此列出关于 的性质即可判定出BNC 是否具有最大值解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（ x 3）,就：a（0+1）（0 3）=3,a= 1；抛物线的解析式：y= （ x+1）（x 3）= x2+2x+3（2）设
3、直线 BC 的解析式为： y=kx+b,就有：,解得；故直线 BC 的解析式： y= x+3S BNC、m 的函数关系式,依据函数名师归纳总结 已知点 M 的横坐标为m,MN y,就 M（m, m+3）、N（m, m2+2m+3）；第 1 页,共 7 页故 MN= m 2+2m+3 （m+3）= m 2+3m（ 0m3）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）如图；S BNC=S MNC+S MNB=MN（OD+DB）=MN .OB,S BNC=（ m 2+3m）.3= （ m ）2+（0m3）；当 m=时, BNC 的面积最大,最大
4、值为平行四边形类2如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+mx+n 经过点 A（3,0）、B（0, 3）,点 P 是直线 AB上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,设点 P 的横坐标为 t（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式（2）如点 P 在第四象限,连接 AM 、BM ,当线段 PM 最长时,求ABM 的面积（3）是否存在这样的点 P,使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？如存在,请直接写出点 P 的横坐标；如不存在,请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平
5、行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3,0）B（0, 3）分别代入y=x 2+mx+n 与 y=kx+b,得到关于 m、n 的两个方程组,解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（ t,t 3）,就 M（t, t 2 2t 3）,用 P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM的长,即 PM =（t 3） （ t 2 2t 3） = t2+3t,然后依据二次函数的最值得到当 t=时, PM 最长为=,再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM运算即可；（3）由 PM OB,依据平行四边形的判定得到当PM=OB 时,点 P、M 、B、O
6、 为顶点的四边形为平名师归纳总结 行四边形,然后争论：当P 在第四象限： PM =OB=3,PM 最长时只有,所以不行能；当P 在第一象第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载限： PM =OB=3,（t2 2t 3） （ t 3）=3；当 P 在第三象限： PM=OB =3,t2 3t=3,分别解一元二次方程即可得到满意条件的 t 的值解答：解：（1）把 A（3,0）B（0, 3）代入 y=x 2+mx+n,得解得,所以抛物线的解析式是y=x2 2x 3,设直线 AB 的解析式是y=kx+b,解得把 A（3,0）B（
7、0, 3）代入 y=kx+b,得所以直线 AB 的解析式是y=x 3；（2）设点 P 的坐标是（ t,t 3）,就 M（t, t 2 2t 3）,由于 p 在第四象限,所以 PM=（t 3） （ t 2 2t 3）= t 2+3t,PM 最长值为=,当 t=时,二次函数的最大值,即就 S ABM=S BPM +S APM=（3）存在,理由如下：PM OB,当 PM=OB 时,点 P、 M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,当 P 在第四象限： PM=OB=3,PM 最长时只有,所以不行能有 PM =3当 P 在第一象限： PM=OB=3,（t 2 2t 3） （ t 3）=3,解得 t 1=
8、,t2=（舍去）,所以 P 点的横坐标是；当 P 在第三象限： PM=OB=3,t 2 3t=3,解得 t 1=（舍去）,t2=,所以 P 点的横坐标是所以 P 点的横坐标是 或等腰三角形类3如图,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？如存在,求点 P
9、的坐标；如不存在,说明理由考点：二次函数综合题.专题：压轴题；分类争论分析：（1）第一依据OA 的旋转条件确定B 点位置,然后过B 做 x 轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长（即 OA 长）确定 B 点的坐标（2）已知 O、 A、B 三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）依据（ 2）的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出 P 点的坐标,而 O、B 坐标已知,可先表示出OPB 三边的边长表达式,然后分 OP=OB、 OP=BP、 OB=BP 三种情形分类争论,然后辨论是否存在符合条件的 P 点解答：解：（1）如图,过B 点作 BCx 轴,垂足为C,就 BCO=90 , A
10、OB =120 , BOC=60 ,又 OA=OB=4, OC=OB= 4=2,BC=OB.sin60=4=2,x点 B 的坐标为（2,2）；y=ax 2+bx,（2）抛物线过原点O 和点 A、B,可设抛物线解析式为将 A（4,0）,B（ 2 2）代入,得y=x 2+,解得,此抛物线的解析式为（3）存在,如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为D,设点 P 的坐标为（ 2,y）,如 OB=OP,名师归纳总结 就 2 2+|y| 2=42,解得 y= 2,=,第 4 页,共 7 页当 y=2时,在 Rt POD 中, PDO =90 ,sinPOD =- - - - -
11、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 POD =60 , POB = POD+AOB=60 +120 =180 ,即 P、O、B 三点在同始终线上,y=2不符合题意,舍去,2, 2）,点 P 的坐标为（ 2, 2）如 OB=PB,就 42+|y+2| 2=42,解得 y= 2,故点 P 的坐标为（ 2, 2）,如 OP=BP,就 22+|y|2=42+|y+2| 2,解得 y= 2,故点 P 的坐标为（ 2, 2）,综上所述,符合条件的点P 只有一个,其坐标为（综合类4如图,已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为B（5,0）,另一个交
12、点为A,且与 y 轴交于点 C（0, 5）（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）如点 M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点,过点M 作 MN y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下, MN 取得最大值时,如点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点, 以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为S1, ABN 的面积为 S2,且 S1=6S2,求点 P 的坐标考点：二次函数综合题.专题：压轴题分析：（1）设直线 BC 的解析式为y=mx+n,将 B（ 5,0）, C（0,5）两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线BC 的
13、解析式；同理,将B（5, 0）,C（0, 5）两点 的坐标代入y=x 2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；名师归纳总结 （2）MN 的长是直线BC 的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN 的长和 M 点横第 5 页,共 7 页坐标的函数关系式,依据函数的性质即可求出MN 的最大值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）先求出学习必备欢迎下载CBPQ 的边 BC 上的高为 BD,根ABN 的面积 S2=5,就 S1=6S2=30再设平行四边形据平行四边形的面积公式得出 BD=3,过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与
14、点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,就四边形 CBPQ 为平行四边形证明EBD 为等腰直角三角形,就 BE= BD=6,求出 E 的坐标为（1,0）,运用待定系数法求出直线 PQ 的解析式为 y= x 1,然后解方程组,即可求出点 P 的坐标解答：解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n,将 B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入,得,解得,所以直线 BC 的解析式为 y= x+5；将 B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入 y=x 2+bx+c,得,解得,所以抛物线的解析式为 y=x 2 6x+5；（2）设 M（ x,x 2 6x+5）（1x5）,就 N
15、（x, x+5）,MN=（ x+5） （ x 2 6x+5）= x 2+5x= （ x ）2+,当 x=时, MN 有最大值；（3） MN 取得最大值时,x=2.5,x+5= 2.5+5=2.5 ,即 N（2.5,2.5）解方程 x 2 6x+5=0 ,得 x=1 或 5,A（1,0）,B（5,0）,AB=5 1=4, ABN 的面积 S2=42.5=5,平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD,就 BC BDBC=5,BC.BD=30,BD=3过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与点 形 CBPQ 为平行四边形P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,就四边名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载BCBD, OBC=45, EBD =45 , EBD 为等腰直角三角形,BE=BD=6,B（5,0）,E（ 1,0）,设直线 PQ 的解析式为 y= x+t,将 E（1,0）代入,得 1+t=0,解得 t= 1 直线 PQ 的解析式为 y= x 1解方程组,得,点 P 的坐标为 P1（2, 3）（与点 D 重合）或 P2（3, 4）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页