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1、函数的单调性函数的单调性 2一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I：增函数定义：增函数定义：Oxyx1x2f(x1)f(x2)单调增区间。的叫做函数上的增函数，区间是区间，那么都有时，当如果对于)()()()(,212121xfDDxfxfxfxxIDxx减函数的定义：减函数的定义：xOyx1x2f(x1)f(x2)一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I：单调减区间。的叫做函数上的减函数，区间是区间，那么都有时，当如果对于)()()()(,212121xfDDxfxfxfxxIDxx单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间的单调性如下表一次函数)0(.
2、 1kbkxy)0(kbkxy0k0k，-，-的单调性如下表反比例函数)0(. 2kxky单调增区间单调增区间单调减区间单调减区间)0( kxky0k0k), 0(),0 ,(), 0(),0 ,(变式变式2：讨论：讨论 的单调性的单调性2(0)yaxbxc a变式变式1：讨论：讨论 的单调性的单调性2(0)yax a单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间 2yaxbxc,2ba,2ba ,2ba ,2ba的单调性如下表二次函数)0(. 32acbxaxy0a0a成果运用成果运用若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递增，求上单调递增，求a的取值范围。的取值范围。 解：解：二次函数二次
3、函数 的对称轴的对称轴为为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 , ,即即 2( )4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o2( )4f xxax ,1单调区间单调区间-5-5，-2),-2-2),-2，2) 2) , ,22，3),3),33，55；xyo1 12 25 53 3 4 4-1 -1-2-2-5-5 -4-4 -3-3例例1.1.说出下面函数的单调区间。说出下面函数的单调区间。解：解：增区间增区间-2-2，2) 2) ,3,3，55；减区间减区间 -5 -5，-2-2）,2,2，33；例例2.2.物理学中的玻意尔定律物理学中的玻意尔定律 （k k为正常数）告诉我
4、们，对于一定量的气为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积体，当体积V V减小时，压强减小时，压强p p将增大，试将增大，试用函数单调性证明之。用函数单调性证明之。vkp 分析分析： 按题意，只要证明函数按题意，只要证明函数 在在区间（区间（0 0，+ +）为减函数即可。）为减函数即可。vkp 解解：则上的任意两个实数，且是定义域根据单调性的定义，设,), 0(,2121VVVV.)()(21122121VVVVkVkVkVpVp. 0-,; 0), 0(,12212121VVVVVVVV得由得由, 0)()(, 021VpVpk又).()(21VpVp即.), 0(,将增大减少时，压强当
5、体积即是减函数所以，函数pVVVkp利用定义证明函数单调性的主要步骤：利用定义证明函数单调性的主要步骤：1.1.取值定大小取值定大小( (任取任取x1,x2D, 且且x1x2););2.2.作差变形作差变形( (作差作差f(x1)f(x2)，变形常，变形常用的方法有用的方法有因式分解和配方等因式分解和配方等) )；3.3.断号下结论断号下结论( (判断差判断差f(x1)f(x2)的正的正负负并作出结论并作出结论) )例例3.3.判断函数判断函数 在区间在区间 上上的单调性的单调性. . ), 1 xxxf1)(证明：在区间证明：在区间 上任取上任取 且且 1,12,x x12xx则则12121
6、211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x ，且，且12xx121 20,1 0 xxxx 1212()()0,()()f xf xf xf x取取值值作差作差变变形形断断号号结结论论故函数故函数 在区间在区间 上是增函数上是增函数. . 1,xxxf1)( )21A yx 2( )31B yx 2()Cyx2()21D yxx1010 xxxx _如果证得对任意的如果证得对任意的 ，且且 有有 ，能断定该函数在区间能断定该函数在区间D上是增函数吗上是增函数吗?Dxx21,21xx 0)()(1212xxxfxf思考：思考：