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1、第1页版权所有不得复制初中数学矩形的性质和判定编稿老师巩建兵一校黄楠二校杨雪审核宋树庆【考点精讲】矩形概念性质判定方法对称性：轴对称图形对角线相等且互相平分四个角都是直角定义有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形【典例精析】例题 1 如图，在 ABC 中， AB6，AC 8，BC10，P 为边 BC 上一动点且点P不与点 B、C 重合， PEAB 于点 E，PFAC 于点 F，M 为 EF 中点。设AM 的长为 x，试求 x 的最小值。思路导航： 根据勾股定理的逆定理求出ABC 是直角三角形，得出四边形AEPF 是矩形，所以AM 12EF12AP，在 RtABC 中利用 AP 求出 x
2、的最小值。答案： 解：连接AP， AB 6，AC 8，BC 10， AB2AC236 64100，BC2100， AB2AC2BC2，BAC 90 ， PEAB， PFAC， AEP AFPBAC90 ，四边形AEPF 是矩形， AP EF， BAC 90 ，M 为 EF 中点， AM 12EF12AP，当 APBC 时， AP 值最小，此时SBAC12 6 812 10 AP，AP4.8，即 x 的最小值为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页第2页版权所有不得复制点评：此题考查了垂线段最短，三角形面积， 勾股定理的
3、逆定理，矩形的判定等的应用，关键是求出AP 的最小值和得出AM 与 AP 的数量关系。例题 2 请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图 1，已知 ABC 中， AB AC ，CD AB，垂足是D，P 是 BC 边上任意一点，PEAB ，PF AC，垂足分别是E、F。求证： PEPFCD。证明思路：如图2，过点 P 作 PGAB 交 CD 于点 G，则四边形PGDE 为矩形， PEGD；又可证 PGC CFP，则 PFCG；所以 PEPFDGGCDC。如图 3，假设 P 是 BC 延长线上任意一点，其他条件不变， 则 PE、PF 与 CD 有何关系？请你写出结论并完成证明过程。思路导航：
4、采用与题目相同的思路，过点 C 作 CGPE，利用矩形的性质和全等三角形的性质确定PE、PF、CD 之间的关系。答案： 结论： PEPFCD。证明：过点C 作 CGPE 于点 G， PE AB，CDAB ， CDE DEG EGC90 。四边形CGED 为矩形。 CDGE，GCAB。 GCP B。 AB AC，B ACB 。 FCP ACB B GCP。 在 PFC 和 PGC 中， F CGP90 ， FCP GCP，CP CP， PFC PGC AAS 。 PFPG。 PEPFPEPGGECD。点评： 此题通过构造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性质求解。解答这类阅读理解问题
5、，读懂题目提供的解题思路是解题关键。例题 3 如图， 已知 ABC 中，AB AC ，BAD CAD ，F 为 BA 延长线上的一点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页第3页版权所有不得复制AE 平分 FAC，DE AB 交 AE 于点 E。1求证： AE BC；2求证：四边形AECD 是矩形；3BC6cm，SAECD 12cm2，求 AB 的长。思路导航： 1先根据已知条件求出AD BC，再根据AE 平分 FAC ，得出 EAD90 ，从而证出AE BC；2先判定四边形AECD 是平行四边形，再根据ADC 90 ，
6、证出四边形AECD 是矩形； 3由 BC 6cm，得出 CD3cm，再根据SAECD 12 cm2，得出 AD 4，利用勾股定理求出AC 的长即可。答案： 1证明： ABAC ， BAD CAD ， AD BC， ADB 90 ，AE平分 FAC ， FAE EAC CAD BAD 180， EAC CAD EAD 90 ， AEBC；2证明： DEAB ，AEBC，四边形ABDE 是平行四边形，AEBD ，BDCD，AECD，四边形AECD 是平行四边形， ADC 90 ，四边形 AECD 是矩形；3 解：BC6cm， CD3cm， SAEC D 12cm2， AD 4， AB AC 324
7、25， AB 的长是 5cm。点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，用到的知识点是平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等，这类问题一般要综合利用各种有关性质，是中考命题的热点。【总结提升】1. 关于矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。说明：长方形和正方形都是矩形。2. 关于矩形的性质：矩形的 4 个内角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分；矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形对称轴是任何一组对边中点的连线，它至少有两条对称轴。矩形具有平行四边形的所有性质
8、。3. 矩形的对角线把自身分成假设干个直角三角形和等腰三角形，因此很多矩形问题都可以转化成直角三角形或等腰三角形的问题加以解决。直角三角形的重要性质主要有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形两锐角互余；勾股定理；直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页第4页版权所有不得复制答题时间： 20 分钟一、选择题1. 以下关于矩形的说法，正确的选项是A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是矩形C. 矩形的对角线互相垂直且平分D. 矩形的对角线相等且互相
9、平分*2. 如图，在 ABC 中，AB 8，BC6，AC10，D 为边 AC 上一动点， DE AB 于点E，DFBC 于点 F，则 EF 的最小值为A. B. 3 C. D. 5 *3. ABC 中， AB AC 5，BC6，点 D 是 BC 上的一点，那么点D 到 AB 与 AC 的距离的和为A. 5 B. 6 C. 4 D. 245二、填空题4. 如图，在 ABC 中， ABAC ，AD BC，垂足为D，E 是 AC 的中点。假设DE5，则 AB 的长为 _。*5. 如下图， ABC 中， AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点 D、F，BEDF 交 DF的延长线于点E，已知 A 3
10、0 ，BC2，AFBF，则四边形 BCDE 的面积是 _。三、解答题*6. 已知：如下图，D 是 ABC 中 AB 边上的中点，ACE 和 BCF 分别是以 AC 、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF。求证： DEDF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页第5页版权所有不得复制DABCEF*7. 如图， O 为 ABC 内一点，把AB 、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四边形DEFG 。1四边形 DEFG 是什么四边形，请说明理由；2假设四边形DEFG 是矩形，点O 所在位置应满足什么条件
11、？说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页第6页版权所有不得复制1. D 解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形。2. C 解析：如图，连接BD 。在 ABC 中， AB 8，BC6，AC 10， AB2BC2AC2，即 ABC 90 。又 DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，四边形EDFB 是矩形，EFBD。 BD 的最小值为直角三角形ABC 斜边上的高，12AC BD 12ABAC ， BD， EF 的最小值为，故选C。3. D 解析：作 ABC 的高 CQ， AH ，过
12、C 作 CZDE，交 ED 的延长线于点Z， ABAC 5，BC 6，AH BC， BHCH3，根据勾股定理得：AH 4，根据三角形的面积公式得：12BC?AH12AB?CQ，即： 6 45CQ，解得： CQ245， CQAB，DEAB ，CZ DE ， CQE QEZ Z90 ，四边形QEZC 是矩形，CQZE。再证明 ZCD FCD，得 DF DZ， DEDF CQ245。ABCDHEFQZ4. 10 解析：在 ABC 中， ADBC，垂足为 D， ADC 是直角三角形；E 是 AC的中点。 DE12AC 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；又DE5，ABAC ， AB 10。5. 2
13、3 解析： AFBF，即 F 为 AB 的中点， 又 DE 垂直平分AC ，即 D 为 AC 的中点，DF 为三角形ABC 的中位线，DEBC，DF12BC，又 ADF 90 ， C ADF90 ，又 BEDE， E90 ，四边形BCDE 为矩形， BC2， DF12BC1，在Rt ADF 中， A30 ，DF1， AD 3， CDAD 3，则矩形 BCDE 的面积 SCD?BC2 3。6. 证明：分别取AC 、BC 中点 M、N，连接 MD 、ND ，再连接 EM、FN， D 为 AB 中点， AEC90 ， BFC90 ， EMDN 12AC ，FNMD 12BC，DN CM 且 DN C
14、M， 四边形 MDNC 为平行四边形， CMD CND。 EMC FNC90 ， EMC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页第7页版权所有不得复制 CMD FNC CND ，即 EMD FND， EMD DNF SAS。 DEDF。DABCEFMN7. 1四边形 DEFG 是平行四边形。理由如下：D、G 分别是 AB、AC 的中点， DG是 ABC 的中位线； DGBC，且 DG12BC；同理可证： EFBC，且 EF12BC； DGEF，且 DGEF，故四边形DEFG 是平行四边形；2O 在 BC 边的高上且不与点A和垂足重合。理由如下：连接OA；把 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四边形DEFG。 DEOA GF，EFBC，O 点在 BC 边的高上， AO BC，AO EF， DEOA ， DEEF，四边形DEFG 是矩形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页