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1、第1页 （共 29 页）复变函数与积分变换复变函数与积分变换复习题复习题 1 1一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 分，共分，共 24 分）分）.1.复数ii3z位于复平面第() 象限.A一B二C三D四解：10313333ziiiiiii，故选择 C2. 下列等式成立的是().Aine5li 5；B)arg()(riigA；C1eLn；D)zzRe(zz 。解：Aziznzarglnl，故 A 不对;B，kzzgA2)arg()(r，B 不对CiArgzzn lnzL，故 C 不对;D，zz是个实数，故选择 D3.arg6z满足().A.在复平面上连续B.在原点处连续C.在负实轴
2、连续D.在除原点及负实轴上连续解：argz在除原点及负实轴上连续，故arg6z也是这样。选 D4. 方程54z1z表示的图形是（）.A.圆B. 直线段C.椭圆D.双曲线解：该方程表示的是复平面上的动点 z 到两个定点iz011和iz042的距离的和，而1z和2z的距离就是 5，所以该动点在1z和2z所连线的直线段上。选 B5. isin是().A. 0B. 一个纯虚数C. 一个实数D. 无法计算解:由欧拉公式可以推导出ieexixix2sin，故isin是纯虚数或者用ishi)sin(也可以判别选 B第2页 （共 29 页）6. 若lnz)(zf(0, 0yx)，则)(zf().A2z3B.
3、0C.ze33D.1-z选 D,求导公式，本题是平凡的7. 计算积分LdzzzI4cos，其中) 10(:rrzL，方向正向，I（）.A2Bi2Ci2D0解：由于奇点 0 在 L 内部，故可以使用高阶求导公式 dzzzzfinzfCnn1002!（n 为正整数）奇点内点是Dz0,D为 L 所围成的封闭区域。可知0)3(4cos! 32coszLzidzzzI=0，故选 D8.)( eLn =（）.A0B不存在CiDik21解：带公式iArgzzn lnzL可知选择 D9. 下列选项正确的是（） A函数)(zf在一点 z 处解析，则)(zf在 z 处连续B函数)(zf在一点 z 处连续，则)(z
4、f在 z 处解析C函数)(zf在一点 z 处可导，则)(zf在 z 处解析D函数)(zf在一点 z 处不解析，则)(zf在 z 处不连续选择 A，可求导数则连续，解析是指处处可求导数，所以选 A10.dsin0（）.A.0B.1C.2D.第3页 （共 29 页）解：因为2dsin0 xxx，积分变换第十页故）令t(2dsindsindsin000ttt选 C11.复变函数zezf5)(在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析选 D12.0z是函数zzf1)(的()(A)奇点（B）解析点（C)连续点（D）可导点选 A二、二、 填空题填空题1.51 i
5、_.解： iiiiii441211122252. 当a_，函数)72(2)(yxiyaxzf为复平面上的一个解析函数.解：令ivuyxiyaxzf)72(2)(则yxvyaxu72,2由解析函数满足柯西黎曼方程可知yxvu ，故7a3. 复数6cos6siniz的指数形式为z_.解：3232sin32cos23216cos6sinieiiiz4. 函数ttf7sin)(的 Fourier 变换为_解：积分变换课本 27 页，看不懂的话当公式背结论第4页 （共 29 页）5.tdtet2cos04_.解：由于ktcos对应的 Laplace 变换为22kss积分变换课本 94 页，正弦的也要背也
6、就是220coskssktdtest于是令 s=4，k=2 就可以求出来了二、填空题（每小题 2 分，共 10 分）1.i 442.73.ie324.)7()7(j5.51三、三、计算题计算题(共共 66 分分)1. 已知yixz，zzxzzzf2)(3，求)1 (if 。 （6 分）2. 计算积分dzzzzI342的值，其中为正向圆周：7z 。 （6 分）3. 计算积分dzzzC )Im(2，其中 C 为从原点到i1的直线段。 （6 分）4. （1）求Im(tani)。 （6 分）4.（2）求ii）（ 1。 (6 分)5.已知函数jetfj1)2(2F，求1)(ttf(F。 （8 分）6.
7、已知sstf4cos1)( L，求)(lim00dttfts L。 （8 分）7.已知yxvu3，试确定解析函数ivuzf)(.（8 分）第5页 （共 29 页）8.已知指数函数)(1Rketfkt （的 Laplace 变换ksdteesFstkt1)(01，若11ln)(sssF，求)(sF的 L 逆变换)(tf。 （8 分）9.解微分方程 1)0()0(2yyeyyyt。（10 分）三、计算题(共 66 分)1.已知yixz，zzxzzzf2)(3，求)1 (if 。 （6 分）解：2332)(zzzzxzzf（3 分）232)(zzzf（4 分）zzf62)( （5 分）iif68)1
8、 ( （6 分）2. 计算积分dzzzzI342的值，其中为正向圆周：7z 。 （6 分）解：令3)3(434212zAzAzzzzzz,其中21,AA为待定常数，去分母得zAzAz21)3(4，若令 z=0 求出341A;而如若令 z=3，则可求出372AdzzdzzI）（33734(2 分)令1 . 0:1ZL,1 . 03:2ZL(4 分)第6页 （共 29 页）则由复合闭路定理可知：idzzdzzdzzdzzILLLL234343373372121）（）（(6 分)注释：上面四项中有两项无奇点，积分值是 0，另外两个提出分子的话每一个都是i23.计算积分dzzzC )Im(2，其中 C
9、 为从原点到i1的直线段。 （6 分）解：yixz，iyxyyxxzz)2(222故yxyzz2)Im(2设 C:ixxiyxz，x从 0 到 1(2 分)则在 C 上dxidz)1 ( (4 分)dzzC)Im(2=dxixx)1 (2102=i6161(6 分)4.（1）求Im(tani)。 （6 分）解：11cossintanchishiii=1ith(4 分)th1Im(tani) (6 分)4.（2）求ii）（ 1。 (6 分)解：ii）（ 1=iiLne)1( (2 分)=)1(iiLne=)1(1ilniiArgie(4 分)2ln224ike）（,.2, 1, 0k(6 分)5
10、.已知函数jetfFj1)2(2，求1)(ttfF(。 （8 分）第7页 （共 29 页）解：由jetfj1)2(2F可知jtf11)(F积分变换课本：傅里叶变换的位移性质 38 页(4 分)22)1 (1)1 ()()(jjjjdtfdFjttfF(41 页象函数求导公式(6 分)2)(1jttfF(8 分）6. 已知sstf4cos1)( L，求)(lim00dttftsL。 （8 分）解：ssFdttft)()(0L106 页积分性质（3 分）)()(sFtf L（4 分）822lim2sin2lim4cos1lim)(lim2202202000ssssssdttfssstsL(8 分)
11、7.已知vu,均是以yx,为自变量的实二元函数，且yxvu3，试确定解析函数ivuzf)(，且0)0(f.（8 分）解：yxvu3且ivuzf)(解析则13yyxxxyyxvuvuvuvu（4 分）求出cyxvcyxu2,2(6 分)第8页 （共 29 页）由于0)0(f，故0c则izzyxiyxzf2)2(2)(（8 分）8.已知指数函数)(1Rketfkt （的 Laplace 变换ksdteesFstkt1)(01若32ln)(sssF，求)(sF的 L 逆变换)(tf。 （8 分）解:先求指数函数ktetf)(1的 Laplace 变换，其中 k 为实数ksdteesFstkt1)(0
12、1)Reks （故3103sdteestt（1）2102sdteestt（2）(2 分)故（1）-（2）得2131)(023ssdteeesttt（3）(3 分)方程（3）同时在), s上积分得3s2sln2131)(023ssstttdsssdtdseee即3s2sln)(023dteteesttt(4 分)故teetftt23)(5 分)此题也可以参考积分变换课本 129 页例 5 的方法。9.解微分方程 1)0()0(2yyeyyyt（10 分）第9页 （共 29 页）解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得21( )(0)(0) ( )(0) 2 ( )1s Y ssyysY
13、 syY ss（3 分）21(2) ( )1ssY sss （5 分）222211( )(2)(1)(2)(1)ssssY ssssss （6 分）令2312221(2)(1)21 (1)AAAsssssss 去分母得221231(1)(2)(1)(2)ssA sA ssA s 令 s=2,则971A;若令 s=1，则313A对比左右的二次项的系数可知121 AA,求出922A由于kte的拉普拉斯变换为ks 1即ksdteestkt10，该方程两边同时对 s 求导得到：201ksdtetestkt，即201ksdtetestkt故ktte的拉普拉斯变换为21ks (注释：后面的大题第二套第三套
14、样卷中更高次的也可以按此方法继续求导计算）综上所述：2721993( )21 (1)Y ssss对应的拉普拉斯逆变换为第10页 （共 29 页）2721( )993ttty teete（10 分）复变函数与积分变换复变函数与积分变换复习题复习题 2 2一、单项选择题.1.函数( )wf z在点0z（） ，则称( )f z在点0z解析.（A）连续（B）可导（C）可微（D）某一邻域内可导解：按定义求选 D2.设函数( )f zuiv在区域D内解析，则在区域D内（）.（A）u必为v的共轭调和函数（B）u与v互为共轭调和函数（C）v必为u的共轭调和函数（D）A、B、C 皆不对解：按定义选 C3.当解析
15、函数( )f z的零点a满足（） ，则称a为( )f z的n级零点.（A）( )( )0,( )0nf afa（B）( )(1)( )( )( )0,( )0nnf afafafa（C）(1)( )( )( )0,( )0nnf afafafa（D）(1)( )( )0,( )0nnf afafa解：见复变函数书 148 页4.设cossinzi,则z （）.（A）1（B）cos（C）2（D）2 cos解：按定义选 A5.函数23)(zzf 在点0 z处是().（A）解析（B）可导（C）不可导（D）既不解析也不可导解：设iyxz，则)(33)(222yxzzf，从而0)0(f则0)(3lim)
16、(3lim0)0()(lim)0(00220000yixyixyxzfzffyxyxyx若任取 0 的某去心领域内的一个点000iyxz第11页 （共 29 页）则iyyxxyxyxzzzfzfzfyyxxyyxx)()(3)(3lim)()(lim)(0020202200000000020200202022000202002020226)(3lim)()(3)(3lim6)(3lim)()(3lim)()(3)(3lim0000000000 xxxxxiyyxxyxyxiyiyyiyyyyiyyxxyxyxyyxxyyxxyyxxyyxxyyxx故当0000iyxz时)(0zf 不存在。故选
17、 B6.设zzfsin)( ，则下列命题中,不正确的是().（A）)(zf在复平面上处处解析（B）)(zf以 2为周期（C）2)(izizeezf （D）)(zf是无界的解：ieezfiziz2)(，故选择 C7.当iiz 11时，5075100zzz 的值等于（）.（A）i（B）i （C）1（D）1 解：iiiiiiz111112，带入5075100zzz 得 B8.一个向量顺时针旋转3 ，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为i31 ，则原向量对应的复数是（）.（A）2（B）i31 （C）i 3（D）i 3解：数学里的向量平移后是相等的，故可以不考虑平移过程。只考虑旋转即可，复数i
18、31 绕原点逆时针旋转3 得到 A第12页 （共 29 页）9.函数1wz将 Z 平面上直线1x 映射成 W 平面上（）.（A）直线（B）圆（C）双曲线（D）抛物线解：设iyxz，则11wzxyi，由于1x ，故21111yiwuivyiy故0,1,1122uyyvyu，则yuv，则211uvu，即222vuuu即221vuu，即uvu22即2222121vu，所以选 B10.设)()(tutf，则 F)(tf=().（A）)(1wjw（B）（C）0jwte（D）1解：积分变换课本 26 页。11. 若,u x yv x y在点, x y满足CR条件.则( )f zuiv在点, x y().（
19、A）可微（B）不可微（C）不一定可微（D）解析解：,u x yv x y在点, x y满足CR条件只能说( )f z在点, x y可求导，但是偏导数存在与否与二元函数可微与否无必然联系。选 C12.积分3( )tt edt= ().（A）0（B）1（C）101（D）3e解：( )( )(0)tf t dtf，3( )1tt edt，选 B一、单项选择题题号123456789101112答案DCCABCBABACB第13页 （共 29 页）二、填空题二、填空题1.复变函数( )zf ze=的周期为.解：iyxz，( )(cossin )zxyixf zeeeyiy+=+故()()2(2)cos2
20、sin2( )zk ixf zk ieeykiykf zpppp+=+=2. 若( )f zuiv=+可导，则( )fz=.解：复变函数课本 42 页第七行。3. 计算乘幂22=.解：222222(22)2(22)222(cos2 2sin2 2)( 为 整数)LnLnlniArglni klneeeeekikkppp+=+4. 曲线积分24cos()zzdzz .解：由于 dzzzzfinzfCnn1002!，带入即可5.已知222211( )(1)(1)f zxiyxyxy，若zxiy，则复变函数 zf关于变量z的表达式为.解：221( )xiyzf zxiyzzxyzzz二、二、填空题、
21、填空题、.1、2k i2.uvixx3.2ln2(cos2 2sin2 2)ekik4.05.10zzz三、计算题：三、计算题：1若复数z满足03)21()21( ziziz z，试求2 z的取值范围 （8 分）解：解：由已知，去括号得第14页 （共 29 页）230zzzzi zz（2 分）设zxiy，有22+24 +3=0 xyxy（4 分）所以22+1+2=2xy（6 分）圆心（-1，-2）到（-2，0）的距离为5，而圆半径为2所以25225 z（8 分）2 （1）设0 a，在复数集C中解方程azz 22.（6 分）解：设iyxz，则依题意得：axyiyxyx222222故0222222
22、xyayxyx且（1）当0 x，ayy222，即ayy22即：ayy22，即：ay112继续讨论： （I）当1a时，无解。(II)当1a时，1y，此时iz。(III)当1a时，ay11此时）（或者aay1111此时）（或者aiaiz1111(2)当0y，axx222，即axx 22即112ax，故11ax此时11ax，zax112 （2）对于映射)1(21zz ，求出圆周4 z的像. （6 分）第15页 （共 29 页）解：设iyxz，由于4 z，故16zz，且1622 yx（*）ivuyixiyxiyxzzzzzzzz32153217)16(21)16(21)(21)1(21则yvxu321
23、5,3217，于是带入（*）中则22232415321732vuyx即：181581722vu，即表示w平面上的椭圆222211715()()88uv3设023 zezww，求22,dzwddzdw.（8 分）解：方程023 zezww的两边同时对 z 求导得：0)(232zedzdzwdzdw即zedzdzw2)3(2zwewdzdwz2322 ,上式两边同时对 z 求导得第16页 （共 29 页）22222222222222)23()22326(2)23(2322)23()26(2)23(2)23()23(2)23(2zwzwewwewzwezwewzwdzdwwewzwedzdwzwzw
24、ewzwewdzwdzzzzzzzz4已知22yxvu ，试确定解析函数ivuzf )(.（8 分）解:这个自己求咯解析函数为：cizizf)1(21)(2 .c为任意实常数.5、计算积分（1）Rzdzzzz)2)(1(62,其中1, 0RR且2R;解：令211)2)(1)(1(6)2)(1(63212zAzAzAzzzzzzz去分母得到：) 1)(1()2)(1()2)(1(6321zzAzzAzzAz赋值：令 z=1，则11A令 z=1，则32A令 z=2，则42A当10 R时，Rzdzzzz)2)(1(62=0；第17页 （共 29 页）当21 R时，Rzdzzzz)2)(1(62=i8
25、；当 R2时，26=(1)(2)zRzdzzz 0.（6 分）（2）求22422zzzdz解：iiziziiziziziziiziziizizizizzzz21)1111(21)1)(1()1()1(21)1)(1(2)1)(1(1) 1(1121221222222222222222424令1,12221iwiw那么就有111212221)11(111wwzwzwziz222222221)11(111wwzwzwziz考虑到21, ww 均在2z所围成的封闭区域内部由柯西积分公式有：22422zzzdz=0（6 分）四.解下列方程.（3 小题共 26 分）第18页 （共 29 页）1. 求微分
26、方程222costyyyet满足(0)(0)0yy的解。 （8 分）解：对给定的微分方程两边取拉氏变换，有222(1)( )2( )2 ( )(1)1ss Y ssY sY ss（3 分）解之得：22222(1)2(1)1( )(1)1(1)1 (1)1ssY ssss（6 分）取拉氏变换，并利用卷积定理，得所求微分方程的解：112202(1)1( ) ( )(1)1 (1)12cossin2cossin()ttttsy tLY sLsset eteetd002cos sin()sin()sin()ttttetdettd这是因为BABABAsincoscossin)sin(BABABAsinc
27、oscossin)sin(故BABABAcossin2)sin()sin(0( )sinsin(2 )tty tettd01sincos(2 )sin2tttetttetttettetttsin)2cos(21sin02. 求方程0( )3 ( )2( )2 (1)(2)ty ty tydu tu t满足(0)1y的特解。 （8 分）解：令 ( )( )L y tY s，方程两端取 Laplace 变换，得2211( ) 1 3 ( )( )2()sssY sY sY seesss （3 分）故22( )3( )2 ( )22sss Y sssY sY see 第19页 （共 29 页）22(
28、32) ( )22ssssY sees2(2)(1) ( )22ssssY sees故22111( )(22)()(22)(2)(1)12ssssY seeseesssss解得22222( )()()()121212ssssY seessssss222221 122( )()()()121212ssssY seessssss 拆分后得：2222221( )()()()121221ssY seessssss（6 分）由于stuL1)(,由位移性质)()(asFtfeLat和延迟性质：)()(sFetfLs可知kstueLkt1)(，则)(1)(tueLekstks于是所求的特解为1(1)2(1)
29、(1)2(2)2( ) ( )2() (1)2() (2)2tttttty tLY seeu teeu tee（8 分）3求积分方程组02( )04ttxxydxxye满足初始条件(0)0,(0)1xx 的解。 （10 分）解：对方程组的每个方程两端取 Laplace 变换，并代入初始条件，得221( ) 12( )( )0.(1)14( )4( )( ).(2)1s X ssX sY sss X ssX sY ss （4 分）第20页 （共 29 页）:)2(s4114( )( )( ).(3)(1)sX sX sY ssss s（1）-（3） ：22241(4 )( ) 12( )( )(
30、1)411(21)( ) 1113(21)( )11ss X ssX sX sss sssX ssssssX sss 213(1)( )1.(4)1sX sss故222131( )1 (1)(1)(1)X ssss ss 22222222221131 11( )21 (1)(1)(1)11111132 (1)1 (1)(1)(1)(1)111111111()3()2 (1)211(1)1(1)5113 111132 (1)4141ssssX ssss sssssss sssssssssssss由方程（4）可知2222213(1)( )1133(1)( )(1)33( )(1)(1)sX sss
31、sssssX ss sssX ss ss 带入（2）可知21( )4( )41Y sss X ss222133( )441(1)(1)ssY sssss ss第21页 （共 29 页）222222222133( )441(1)(1)1334141(1)(1)1(1)44141(1)(1)11441 41(1)(1)(1)41 (4)141411(1)(1)41 (4)1511(1)(ssY sssss ssssssssssssssssssssssssssssssss 21)s设3122241 (4)(1)(1)11(1)ssAAAsssss去分母得：212341 (4)(1)(1)(1)(1)
32、ssA sA ssA s令, 1s则4151A,令1s，则2153A对比二次项系数：214AA 于是4312A（6 分）即2231113151( )41412 (1)11151311( )412 (1)41X sssssY ssss （8 分）取逆变换得原方程组得解为第22页 （共 29 页）1135( )344211531( )424ttttttx teetey tetee （10 分）复变函数与积分变换复变函数与积分变换复习题复习题 3 3一、单项选择题.（每小题 2 分，12 小题共 24 分）1.方程232 iz所代表的曲线是（）.（A）中心为i 32 ，半径为2的圆周（B）中心为i
33、32 ，半径为的圆周（C）中心为i 32 ，半径为2的圆周（D）中心为i 32 ，半径为的圆周选 C2.简单曲线是指（）曲线.（A）连续（B）光滑（C）无重点的连续（D）无重点的光滑光滑是指可导，按定义是 C3.下列命题中，正确的是().（A）设21,vv在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有21vv （B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若ivuzf )(在区域D内解析，则xu 为D内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数按定义，选 C4.区域12z边界的正方向是（）.（A）1z ，2z 都是“逆时针”（B）1z “顺时针” ，2z “逆时针”（C）1z ，2z 都是
34、“顺时针”（D）1z “逆时针” ，2z “顺时针”有洞的是外边界逆时针，内边界顺时针。5.如果曲线C为（） ，则27Cdziz.（A）1z （B）2z （C）3z （D）4z 第23页 （共 29 页）解：272Cdziz,当且仅当奇点i 037在封闭曲线内才可以，选 D6.使得等式22zz 成立的复数z是（）.（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数解：iyxz，则22222yxxyiyx解得 y=0，选 D7.设( )cosf zz，则下列命题中，不正确的是().（A）)(zf在复平面上处处解析（B）)(zf以 2为周期（C）2)(izizeezf （D）)(zf是无界的解：2)
35、(izizeezf，选 C8.000Im( )Im()lim=xxzzzz（）.（A）等于i（B）等于i （C）等于0（D）不存在解：000000000Im( )Im()lim= limlimxxxxxxzzyyyyzzzzyyi这个值不唯一，故选择 D9.设,5,32,1)(21izizzzf ，则 )(21zzf（）.（A）i 44 （B）i 44 （C）i 44 （D）i 44 10.积分3( )tt edt= ().（A）0（B）1（C）101（D）3e解：按公式：( )( )(0)tf t dtf，所以选 B第24页 （共 29 页）11.设1:1 zc为负向，3:2 zc正向，则
36、dzzzccc212sin().（A）i 2 （B）0（C）i 2（D）i 4解：积分函数在积分曲线所围成的区域内没有奇点，所以得 0.12.函数238( )8zf zz的不连续点集为().（A）2, 13i （B）2（C）2,13i（D）2,13i解：不连续点处满足：3382 cos(2)sin(2)zkik ，则222cos()sin()(0,1,2)33kkzik一、选择题（每小题 2 分，共 24 分）二、 （1）填空题.（每小题 2 分，5 小题共 10 分）1.公式cossinixexix=+称为_.2.函数( )f zLnz=的奇点之集为_.3. +t dt_.4.复变函数3(
37、)zf ze=的周期为.5.若21(1)1nnnzinn+=+-，则limnnz =_.二、 （1）填空题（每小题 2 分，共 10 分）1.欧拉公式2.,0,0 x y xy3.14.6k i题号123456789101112答案CCCBDDCDBBBD第25页 （共 29 页）5.1 ie 二二、 （2 2）填空题填空题( (每小题每小题 2 2 分，共分，共 1 10 0 分，请把答案填在横线上分，请把答案填在横线上) )。1.复数3cos3siniz的指数形式是_.2.ii )1 (_.3. 当a_，b_，函数)9()(2yxiaybxzf为复平面上的一个解析函数.注意这个题目有误，应
38、该是)9()(yxiaybxzf4.)33(iLn_.5. 函数ttf5sin)(的 Laplace 变换为_.二、 （2）填空题（每小题 2 分，共 10 分）1.6ie2.)2ln21sin()2ln21(cos()24(iek3.21, 9ba4.)62()32ln(ki5.)0)(Re(2552ss三、解答题.（9 小题，共 66 分）1.求复数1cossin55ipp-+的三角形式和指数形式.（6 分）2.求解复数方程310zi-=.（6 分）3.计算曲线积分：43,:312Cdz Czzzi+=-+ .（6 分）第26页 （共 29 页）4.设c为正向圆周4 z，求5()zcedz
39、zi .（6 分）5.已知22uxky为调和函数，（1）求 k的值；（2）求v，使得( )f zuiv是解析函数，并满足( )1f i .（8 分）6.设 2sinf tt，求 .f tF （8 分）7.若复数z满足03)21()21( ziziz z，试求2z 的取值范围 （8 分）8.求微分方程,2tteyyy 满足1)0(y和2)0( y的解.（8 分）9.求积分方程组02( )04ttxxydxxye满足初始条件(0)0,(0)1xx 的解.（10 分）三、计算题.（9 个小题，共 66 分）1.解：原式22sin2sincos101010i 3 分2sinsincos101010i2
40、ln(2sin)105222sincossin1055iie 6 分2.解：32 cossin44zi第27页 （共 29 页）622442 cossin0,1,233kkzik 6 分3.解：3334343()1212zzzdzdzdzzzizzi=+=+-+-+ 2 分又由柯西积分公式，原式4 23 214iiippp=+=gg， 6 分4.解：由高阶导数公式，得 452=()4!12zzziceiidzezi 6 分5.已知22uxky为调和函数，（1）求 k的值；（2）求v，使得( )f zuiv是解析函数，并满足( )1f i .（8 分）（1）xxyy u2, u2kxxyy u+
41、u220k 1k （4 分）（2）要使解析，则有xyyxuvuv 且，即2yvx， 2vxyg x （6 分） 22yygx g xC 2221f zxyixyCzziC 2Ci（8 分）第28页 （共 29 页）6.解： 21 cos21sin1cos222ttFFFtF 1=2+2 +-22 （8 分）7.解：由已知，得230zzzzi zz（2 分）设zxiy，有22+24 +3=0 xyxy（4 分）所以22+1+2=2xy（6 分）所以1322132z（8 分）8.求微分方程,2tteyyy 满足1)0(y和2)0( y的解. （8 分）解：设 L ( )y t=( )Y s，对方程
42、两端同时取拉氏变换有：221( )2)2( ) 1)( )(1)s Y sssY sY ss .3 分221(21) ( )(1)ssY sss所以：42421111( )(1)(1)(1)1(1)sY ssssss.6 分从而：31( )3!ttty tt eete=31(1)6tett .8 分第29页 （共 29 页）9.求积分方程组02( )04ttxxydxxye满足初始条件(0)0,(0)1xx 的解。 （10 分）解：对方程组的每个方程两端取 Laplace 变换，并代入初始条件，得221( ) 12( )( )014( )4( )( )1s X ssX sY sss X ssX sY ss （4 分）化简并解之得222222411( )(1)(1)(1)(1)4 (2)(2)(2)( )(1)(1)(1)(1)X ss sss sss ssss sY ssssss （6 分）即2231113151( )41412 (1)11151311( )412 (1)41X sssssY ssss （8 分）取逆变换得原方程组得解为1135( )344211531( )424ttttttx teetey tetee （10 分）