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1、3.1.33.1.3导导数的几何数的几何意义意义平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x复习：我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.函数函数y=f(x)在在x=x0处的处的瞬时变化率瞬时变化率是是:0000()(),limlim
2、xxfxffxxxx我们称它为函数我们称它为函数y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f (x(x0 0) )或或y y|x|x=x=x0 0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx复习：函数函数f(x)在在 处的瞬时变化率处的瞬时变化率。0 xx我们知道：我们知道：0()fx导数导数 表示：表示：反映了反映了函数函数f(x)在在 附近的变化情况。附近的变化情况。0 xx那么：那么：0()fx导数导数 的的几何意义几何意义是什么呢？是什么呢？ 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为
3、曲线在点称为曲线在点P处的处的切切线的斜率线的斜率.注意注意: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.00000()()()limlimxxf xxf xykfxxx 切线导数的几何意义：导数的几何意义：oxy)(xfy 0 xT M000()()().yf xfxxx0( )yf xx函数在点处的导数的几何意义就是：00( )(,()f xP xf x曲线在点处切线的斜率。切线方程为：例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)
4、处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用导数的几何意义求出切线的斜率利用导数的几何意义求出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy
5、上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.练习练习1.2已知直线4y+x+1=0,求曲线y=2x -1上与已知直线垂直的切线方程.2.2抛物线y=2x +1在哪一点的切线平行于直线y=4x-2?在哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?例题讲解：例题讲
6、解：关注用导数本质及其几何意义解决问题关注用导数本质及其几何意义解决问题 从求函数从求函数f(x)在在x=x0处导数的过程可以看处导数的过程可以看到：当到：当x=x0时，时， 是一个确定的数。是一个确定的数。0()fx( )( )xfxxf x这样，当 变化时，便是 的一个函数导函数，我们称（简它为的称导数）( )yf xy的导函数有时也记作：即：即：0()( )( )limxf xxf xfxyx 思考题思考题 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？思考题解答思考题解答 由由导导数数的的定定义义知知，)(0
7、 xf 是是一一个个具具体体的的数数值值，)(xf 是是由由于于)(xf在在某某区区间间I上上每每一一点点都都可可导导而而定定义义在在I上上的的一一个个新新函函数数，即即Ix ，有有唯唯一一值值)(xf 与与之之对对应应，所所以以两两者者的的区区别别是是：一一个个是是数数值值，另另一一个个是是函函数数两两者者的的联联系系是是：在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 即即是是导导函函数数)(xf 在在0 x处处的的函函数数值值 如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的
8、比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子看一个例子:小结小结1. 导数的实质导数的实质: 就是就是 瞬时变化率；瞬时变化率；2. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;3. 导数表示了现实生活中事物的发展在某一时刻导数表示了现实生活中事物的发展在某一时刻的瞬时变化发展情况，它的符号刻划变化的增减的瞬时变化发展情况，它的符号刻划变化的增减，它的绝对值反映了变化的快慢，它的绝对值反映了变化的快慢;4. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由
9、定义求导数.平均变化率平均变化率fx121)()fxxx2f(x割线的斜率割线的斜率fkx121)()fxxx2f(x0000()(),limlimxxfxffxxxx00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx瞬时变化率瞬时变化率函数在某函数在某点处的点处的导数导数00()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 导函数导函数（就是曲线在该点处的切线的斜率）（就是曲线在该点处的切线的斜率）小结小结一、要切实掌握求导数的三个步骤：一、要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限
10、，得导数。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 二、求切线方程的步骤：二、求切线方程的步骤：（2）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （1）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf 三、弄清三、弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”之之间的区别与联系。间的区别与联系。的值相切，求直线处与，且在点过点已知抛物线c, b, a3xy) 1, 2() 1 , 1 (cbxaxy2教材P10 A组题 已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平行平行且距离等于且距离等于 , 求直线求直线m的方程的方程.31xy 10