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1、大题规范练(八)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且|PM|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【导学号：07804240】解(1)由题意
2、得解得，椭圆C的方程为1.(2)存在这样的直线l.ykxm，M(0，m)，N，|PM|MN|，P，则Q，直线QM的方程为y3kxm.设A(x1，y1)，由，得(34k2)x28kmx4(m23)0，x1，x1，设B(x2，y2)，由，得(336k2)x224kmx4(m23)0.x2，x2，点N平分线段A1B1，x1x2，k，P(2m,2m)，1，解得m，|m|b，直线l的方程为yx.21已知函数f(x)ex1xax2.(1)当a0时，求证：f(x)0；(2)当x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若x0，证明(ex1)ln(x1)x2.解(1)当a0时，f(x)ex1x
3、，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，则h(x)ex2a.当2a1时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上为增函数，f(x)f(0)0，当a时满足条件当2a1时，令h(x)0，解得xln 2a，在0，ln 2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0，ln 2a)时，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在区间(0，ln 2a)上为减函数，f(x)f(0)0，不合题意综上，实数a的取值范围为.(3)证明：由(2)得，当a，x0时，ex1x，即ex1x，欲证不等式(ex1)ln(x1)x2，只需证ln(x1).设F(x)ln(x1)，则F(x).当x0时，F(x)0恒成立，且F(0)0，F(x)0恒成立原不等式得证