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1、6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是()A.7 B.6 C.5 D.4答案A解析设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X1(图中def的部分)，因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中bc部分).假设只同时持有了B和C
2、股票的人数为a，那么XX1Xa28，即3Xa29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的a值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得ba2(ca)，即Xa3c，故X8，a5时满足题意，故c1，b7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.2.已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.30答案C解析因为集合A(x，y)|x
3、2y21，x，yZ所以集合A中有5个元素(即5个点)，集合B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ中有25个元素(即25个点)，集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即77445(个).3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(其中x表示不大于x的最大整数)可以表示为()A.y B.y C.y D.y答案C解析根据题意，当x16时，y1，所以选项A，B不正确，
4、当x17时，y2，所以D不正确，故选C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A.设数列an的前n项和为Sn，由an2n1，求出S112，S222，S332，推断：Snn2B.由f(x)xcos x满足f(x)f(x)对xR都成立，推断：f(x)xcos x为奇函数C.由圆x2y2r2的面积Sr2，推断：椭圆1(ab0)的面积SabD.由(11)221，(21)222，(31)223，推断：对一切nN*，(n1)22n答案A解析选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列an是等差数列，其前n项和Snn2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确.5.给出以下数对序列：(1，1)(1
5、，2)(2，1)(1，3)(2，2)(3，1)(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)若第i行的第j个数对为aij，如a43(3，2)，则anm等于()A.(m，nm1) B.(m1，nm) C.(m1，nm1) D.(m，nm)答案A解析由前4行的特点，归纳可得：若anm(a，b)，则am，bnm1，anm(m，nm1).6.若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数.给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A.0 B.1 C.2
6、 D.3答案C解析对，dxsin xdxcosx|0，则f(x)，g(x)为区间1，1上的正交函数；对，(x1)(x1)dx(x21)dx|0，则f(x)，g(x)不是区间1，1上的正交函数；对，x3dx|0，则f(x)，g(x)为区间1，1上的正交函数.7.已知点A(0，1)，点B在曲线C1：yex1上，若线段AB与曲线C2：y相交且交点恰为线段AB的中点，则称点B为曲线C1与曲线C2的一个“相关点”，记曲线C1与曲线C2的“相关点”的个数为n，则()A.n0 B.n1 C.n2 D.n2答案B解析设B(t，et1)，则AB的中点为P，所以有，et，所以“相关点”的个数就是方程ex解的个数，
7、由于yex的图象在x轴上方，且是R上的增函数，y在(0，)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n1，故选B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n等于()A.7 B.8 C.11 D.15答案C解析由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比
8、三个盘子不同时操作的次数(231)要多，比四个盘子不同时操作的次数(241)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.9.定义域为a，b的函数yf(x)图象的两个端点为A，B，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中xa(1)b，0，1.已知向量(1)，若不等式|k恒成立，则称函数f(x)在a，b上“k阶线性近似”.若函数yx在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为()A.0，) B. C. D.答案D解析由题意可知，A(1，0)，B，M，N，|，2，当且仅当，2时，等号成立，又0，1，21，2，max，即实数k
9、的取值范围是.10.(2017届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数yf(x)与yF(x)的图象关于y轴对称，当函数yf(x)和yF(x)在区间a，b同时递增或同时递减时，把区间a，b叫做函数yf(x)的“不动区间”，若区间1，2为函数y的“不动区间”，则实数t的取值范围是()A.(0，2 B. C. D.4，)答案C解析易知y|2xt|与y在1，2上单调性相同，当两个函数递增时，y|2xt|与y的图象如图1所示，易知解得t2；当两个函数递减时，y|2xt|的图象如图2所示，此时y|2xt|关于y轴对称的函数y不可能在1，2上为减函数.综上所述，t2，故选C.11.将全体正整数排成一个
10、三角形数阵：12345678910根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行从左至右的第3个数是_.答案解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第3个，即为.12.设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“精致数列”. 已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“精致数列”，则数列bn的通项公式为_.答案bn2n1(nN*)解析设等差数列bn的公差为d，由为常数，设k且b11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0，因为对任意正整数n上式恒成立，则解得d2，k，所以数列bn
11、的通项公式为bn2n1(nN*).13.已知cos，coscos，coscoscos，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是_；(2)若数列an中，a1cos，a2coscos，a3coscoscos，前n项和Sn，则n_.答案(1)coscoscos(nN*)(2)10解析(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n1，分子分别为，2，n，右边应为，故可以猜想出结论为coscoscos(nN*).(2)由(1)可知an，故Sn1，解得n10.14.(2016四川)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P；当P是原点时，定义P的
12、“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_.(写出所有真命题的序号)答案解析对于，若令A(1，1)，则其伴随点为A，而A的伴随点为(1，1)，而不是P.故错误；对于，令单位圆上点的坐标为P(cos x，sin x)，其伴随点为P(sin x，cos x)仍在单位圆上，故正确；对于，设曲线f(x，y)0关于x轴对称，则f(x，y)0与曲线f(x，y)0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f 0与f 0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为f 0与f 0的图象关于y轴对称，所以正确；对于，反例为直线y1，取三个点A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)，这三个点的伴随点分别是A(1，0)，B，C，而这三点不在同一条直线上.故错误.所以正确的序号为.