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1、压轴大题突破练1.导数1.(2017安徽“皖南八校”联考)已知函数f(x)exax22ax1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)exx22x1，f(1)，所以切点坐标为，f(x)ex2x2，所以f(1)，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y，即yx.(2)f(x)exax22ax1求导得f(x)ex2ax2a，令g(x)f(x)ex2ax2a，则g(x)ex2a(x0).当2a1，即a时，g(x)ex2a12a0，所以g(x)f(x)ex2ax2a在(0，)上为增函数，g
2、(x)g(0)12a0，即g(x)f(x)0，所以f(x)exax22ax1在(0，)上为增函数，所以f(x)f(0)10010，故a时符合题意.当2a1，即a时，令g(x)ex2a0，得xln 2a0，x(0，ln 2a)ln 2a(ln 2a，)g(x)0g(x)减函数极小值增函数当x(0，ln 2a)时，g(x)g(0)12a0，即f(x)0，所以f(x)在(0，ln 2a)上为减函数，所以f(x)f(0)0，与条件矛盾，故舍去.综上，a的取值范围是.2.(2017广东惠州调研)已知函数f(x)x2(a2)xaln x(aR).(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：对任
3、意的x0，f(x)exx2x2.(1)解函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x(a2).当a0时，f(x)0对任意x(0，)恒成立，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增.当a0时，由f(x)0，得x，由f(x)0，得0x，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.(2)证明当a1时，f(x)x2xln x，要证明f(x)exx2x2，只需证明exln x20，设g(x)exln x2，则问题转化为证明对任意的x0，g(x)0，令g(x)ex0，得ex，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足，当x变化时，g(x)和g(x)的变化情况如下表：x(0，x0)x0(x0，
4、)g(x)0g(x)单调递减单调递增g(x)ming(x0)ln x02x02，因为x00，且x01，所以g(x)min220，因此不等式得证.3.(2017荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f(x)ln xx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)m(m2)有两个相异实根x1，x2，且x1x2，证明：x1x2.(1)解f(x)ln xx的定义域为(0，)，f(x)10x1，当x(0，1)时，f(x)0，所以yf(x)在(0，1)上单调递增，当x(1，)时，f(x)0，所以yf(x)在(1，)上单调递减.(2)证明由(1)可知，f(x)m的两个相异实根x1，x2满足ln xxm
5、0，且0x11，x21，ln x1x1mln x2x2m0，由题意可知ln x2x2m2ln 22，又由(1)可知f(x)ln xx在(1，)上单调递减，故x22，所以0x11，01.令g(x)ln xxm，则g(x1)g(ln x1x1)(ln x2x2)(ln )x23ln x2ln 2，令h(t)t3ln tln 2(t2)，则h(t)1.当t2时，h(t)0，h(t)在(2，)上单调递减，所以h(t)h(2)2ln 20.所以当x22时，g(x1)g0，即g(x1)g，因为0x11，01，g(x)在(0，1)上单调递增，所以x1，故x1x2.综上所述，x1x2.4.(2017届重庆市一
6、中月考)已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，且函数g(x)x2nxmf(x)(m，nR)，当且仅当在x1处取得极值，其中f(x)为f(x)的导函数，求m的取值范围.解(1)f(x)(x0)，当a0时，令f(x)0，得0x1，令f(x)0，得x1，故函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，).(2)因为函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，则f(2)1，即a2，所以g(x)x2nxm，所以g(x)xn，因为g(x)在x1处有极值，故g(
7、1)0，从而可得n12m，则g(x)，又因为g(x)仅在x1处有极值，所以x22mx2m0在(0，)上恒成立，当m0时，2m0，易知x0(0，)，使得x2mx02m0，所以m0不成立，故m0，当m0且x(0，)时，x22mx2m0恒成立，所以m0.综上，m的取值范围是(，0.5.(2017湖北沙市联考)已知函数f(x)ex(ln x2k)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴垂直.(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)，对任意x0，证明：(x1)g(x)exex2.(1)解因为f(x)(x0)，由已知得f(1)0，所以k.所以f(
8、x)，设k(x)ln x1，则k(x)0在(0，)上恒成立，即k(x)在(0，)上单调递减，由k(1)0知，当0x1时，k(x)0，从而f(x)0，当x1时，k(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，).(2)证明因为x0，要证原式成立即证成立.当x1时，由(1)知g(x)01e2成立；当0x1时，ex1，且由(1)知，g(x)0，所以g(x)1xln xx，设F(x)1xln xx，x(0，1)，则F(x)(ln x2)，当x(0，e2)时，F(x)0，当x(e2，1)时，F(x)0，所以当xe2时，F(x)取得最大值F(e2)1e2，所以
9、g(x)F(x)1e2，即当0x1时，g(x)1e2.综上所述，对任意x0，g(x)1e2恒成立.令G(x)exx1(x0)，则G(x)ex10恒成立，所以G(x)在(0，)上单调递增，G(x)G(0)0恒成立，即exx10，即0.当x1时，有0；当0x1时，由式，.综上所述，当x0时，成立，故原不等式成立.6.(2017西安模拟)已知函数f(x)ln x，其中常数k0.(1)讨论f(x)在(0，2)上的单调性；(2)当k4，)时，若曲线yf(x)上总存在相异的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲线yf(x)在M，N两点处的切线互相平行，试求x1x2的取值范围.解(1)由已知得，f(x
10、)的定义域为(0，)，且f(x)(k0).当0k2时，k0，且2，所以x(0，k)时，f(x)0；x(k，2)时，f(x)0.所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；当k2时，k2，f(x)0在区间(0，2)内恒成立，所以f(x)在(0，2)上是减函数；当k2时，02，k，所以当x时，f(x)0；x时，f(x)0，所以函数在上是减函数，在上是增函数.(2)由题意，可得f(x1)f(x2)，x1x20且x1x2，即11，化简得，4(x1x2)x1x2.由x1x22，得4(x1x2)2，即(x1x2)对k4，)恒成立，令g(k)k，则g(k)10对k4，)恒成立.所以g(k)在4，)上是增函数，则g(k)g(4)5，所以，所以(x1x2)，故x1x2的取值范围为.