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1、一、本章知识网络二、知识要点归纳1数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列2求数列的通项(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an(2)当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(n2)(3)当已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an，常利
2、用恒等式ana1(n2)(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项(5)归纳、猜想、证明法3等差、等比数列的性质项目等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母d表示如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母q表示递推关系an1andq通项公式ana1(n1)dana1qn1anam(nm)danamqnm中项若三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，且A若三个数a，G，b
3、成等比数列，这时G叫做a与b的等比中项，且G前n项和公式Snna1dq1时，Snq1时，Snna1判定方法定义法an1an是同一个常数是同一个常数中项法anan22an1anan2a通项公式法anpnqanpqnSn的形式Sn是不含常数项的二次函数Sn中只有qn与常数项，且系数互为相反数性质下标性质m、n、p、qN*且mnpqamanapaqamanapaqSm，S2mSm，S3mS2m成等差数列成等比数列4求数列的前n项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项
4、差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(5)倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导；(6)并项求和法：适用于正负相间的数列三、题型探究题型一数列的实际应用例1甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明，求：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；(3
5、)哪一年的规模最大？请说明理由解由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列，记为数列an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.(1)由a11，a62，得a21.2.由b130，b610，得b226.c2a2b21.22631.2.所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn3
6、0(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6)对称轴为n，所以当n2时，cn最大所以第2年的规模最大反思与感悟解决与数列有关的应用题应注意以下几点：(1)题目中用到的数列是等差数列还是等比数列(2)题目中要求的是数列的项还是和(3)所用的数列的首项是哪个？(4)得出的结论是否符合实际跟踪训练1某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2014年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2018年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万
7、元解设an为(2014n)年年底分红后的资金，其中nN*，则a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2)所以an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列所以an5001 0002n1，所以an1 0002n1500.(1)a41 0002415008 500，所以该企业2018年年底分红后的资金为8 500万元(2)由an32 500，即2n132，得n6，所以该企业从2021年开始年底分红后的资金超过32 500万元题型二数列的交汇问题例2设数列an满足1，其中常数.(1)求数列an的
8、通项公式；(2)若，bn(2n4 001)an，当n为何值时，bn最大？解(1)由题意得1，当n2时，1，由得，即(n2)又当n1时，1，a121.，数列an是以21为首项，以为公比的等比数列an(21)()n1，即an.(2)当时，an，bn.设bn最大，则，即，解得n.nN*，n2 002，故当n2 002时，bn最大反思与感悟数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点跟踪训练2已知二次函数f(x)x2axa(xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定
9、义域内存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立设数列an的前n项和Snf(n)(1)求f(x)的表达式；(2)求数列an的表达式解(1)f(x)0的解集有且只有一个元素，a24a0，a0或a4.当a4时，函数f(x)x24x4在(0，2)上递减，故存在0x1x2，使f(x1)f(x2)成立；而当a0时，f(x)x2在(0，)上递增，不合题意故a4，f(x)x24x4.(2)由(1)知，Snn24n4.当n2时，anSnSn1(n24n4)(n1)24(n1)42n5，当n1时，a1S11不适合上式，故an.四、思想方法总结1转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法
10、有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出例1已知数列an满足an12an32n，a12，求数列an的通项公式解an12an32n两边除以2n1，得，则，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得，1(n1)，所以数列an的通项公式为an(n)2n.跟踪训练1已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式解设an1x5n12(anx5n)将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x，
11、则x1，代入式得an15n12(an5n)由a1516510及式得，an5n0，则2.an5n是以1为首项，2为公比的等比数列，an5n12n12n1，an2n15n(nN*)2方程思想在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，d(q)，Sn，其中首项a1和公差d(公比q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，d(q)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量例2等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11且b2S264，ban是公比为64的等比数列，求an，bn的通项公式解设an的公差为d，bn的
12、公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有，由q(6d)64知q为正有理数，又由q2知d为6的因子1，2，3，6之一，解得d2，q8，故an2n1，bn8n1.跟踪训练2等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.求数列an的通项an与前n项和Sn.解设数列an的公差为d，由题意得，d2.ana1(n1)d2n1，Snn(n)1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题2数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和