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1、一、本章知识网络二、题型探究题型一利用正弦、余弦定理解三角形1解三角形的四种类型已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由ABC180求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用ABC180求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解2.三角形解的个数的
2、判断已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”进行判断，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，无解；若sin B1，一解；若sin B0，A(0，90)，A60.在ABC中，C180AB120B.由已知条件，应用正弦定理得，从而tan B.题型二判断三角形的形状1利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法方法一：通过边之间的关系判断形状；方法二：通过角之间的关系判断形状利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为
3、边的关系或化为角的关系2判断三角形的形状时常用的结论(1)在ABC中，ABabsin Asin Bcos Acos B.(2)在ABC中，ABC，ABC，则cos(AB)cos C，sin(AB)sin C.(3)在ABC中，a2b2c2cos C0Cc2cos C00C0，又C(0，180)，C60.由acos Bbcos A，得2Rsin Acos B2Rsin Bcos A(R为ABC外接圆的半径)，sin(AB)0，又AB(180，180)，AB0，ABC60，ABC为等边三角形跟踪训练2在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，请判断三角形的形状解(a2b2
4、)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)，2b2sin Acos B2a2cos Asin B0，又由正弦定理可得，sin 2Asin 2B.又A(0，)，B(0，)，2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形题型三正弦、余弦定理的实际应用正弦、余弦定理的实际应用应注意的问题(1)认真分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学
5、过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累；(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位，最后作答例3如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C
6、到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)解(1)由题意得PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)PBx12，PC18x.在PAB中，AB20 km，cosPAB.同理cosPAC.cosPABcosPAC，解得x.(2)作PDa于D，在RtPDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km)所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.跟踪训练3如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速
7、度离开B岛向南偏东60方向行驶，则行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离解设行驶t小时后，甲船行驶了9t n mile到达C处，乙船行驶了6t n mile到达D处当9t21，即t3.当t时，BC9t21，则CD2(9t21)2(6t)22(9t21)6tcos 6063t2252t44163(t2)2189189.综上可知，t2时，CD取最小值3 n mile，故行驶2 h后，甲、乙两船相距最近，最近距离为3 n mile.题型四与三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运
8、用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等例4 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ab)cos Cccos B，ABC的面积S10，c7.(1)求角C；(2)求a，b的值解(1)(2ab)cos Cccos B，(2sin Asin B)cos Csin Ccos B，2sin Acos Csin Bcos Ccos Bsin C，即2sin Acos Csin(BC)，2sin Acos Csin A.A(0，)，sin A0，cos C0，又C(0，)，C.(2)由Sabsin C10，C得ab40.由余弦定理得c2a2b22a
9、bcos C，即c2(ab)22ab(1cos )，72(ab)2240.ab13.由得a8，b5或a5，b8.跟踪训练4在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2Asin2Bcos2Csin Asin B.(1)求角C的大小；(2)若c，求ABC周长的取值范围解(1)由题意知1sin2Asin2B1sin2Csin Asin B，即sin2Asin2Bsin2Csin Asin B，由正弦定理得a2b2c2ab，由余弦定理得cos C，又0C，C.(2)由正弦定理得2，a2sin A，b2sin B，则ABC的周长为Labc2(sin Asin B)2sin Asin(A
10、)2sin(A).0A，A，sin(A)1，2BC，且A2C，b4，ac8，求a，c的长解由正弦定理得，A2C，a2ccos C.又ac8，cos C，由余弦定理及ac8，得cos C.由知，整理得5c236c640.c或c4(舍去)a8c.故a，c.2分类讨论思想某些问题在一定条件下的解有多种情况，在解题过程中，应分析条件及在每个条件下所产生的结果分类讨论思想在历年高考中是必考的，在讨论时应做到不重不漏，并注意各种情况包含的交叉内容例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a5，b5，A30，解三角形解由题可知ab，A30bsin A，三角形有两解由正弦定理得sin B，B6
11、0或B120.当B60时，C90，c10.当B120时，C30，ca5.综上，B60，C90，c10或B120，C30，c5. 1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，AB等价于ab等价于sin Asin B.2根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用运用余弦定理时，要注意整体思想的运用4思想方法：(1)函数与方程思想；(2)分类讨论思想