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1、1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角是角度(0，180)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k(，)，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当90时，直线的斜率不存在；当90时，斜率ktan ，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率kAB.(3)当由090180(不含180)变化时，k由0(含0)逐渐增大到(不存在)，然后由(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.直线方程的五种形式及比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式yy0k(xx0)(x0，y0)
2、是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式1a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式AxByC0(A，B不同时为0)A，B，C为系数任何情况特殊直线xa(y轴：x0)垂直于x轴且过点(a,0)斜率不存在yb(x轴：y0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k0解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
3、，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2B20，必要时要对特殊情况进行讨论.3.两直线平行与垂直的条件直线方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的等价条件l1l2k1k2且b1b2l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10垂直的等价条件l1l2k1k21l1l2A1A2B1B20由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.距离问题类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)d点到直线的距离P(x0，
4、y0) l：AxByC0d两条平行直线间的距离l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同时为0)d学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：A
5、xBy0(是参数，C)；(3)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(是参数，当0时，方程变为A1xB1yC10，恰好表示直线l1；当0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l1和l2的任一条直线).6.对称问题对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2ax1,2by1)，即P为线段P1P2的中点.特别地
6、，P(x，y)关于原点对称的点为P(x，y).两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1l2，P到l1，l2的距离相等.(2)轴对称两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称.当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2 的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；当l1l2l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离.7.圆的方程(1)
7、圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2y2r2.圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.8.点与圆的位置关系(1)点在圆上如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.如果点到圆心的距离等于半
8、径，那么点在圆上.(2)点不在圆上若点的坐标满足F(x，y)0，则该点在圆外；若满足F(x，y)0，则该点在圆内.点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax|PC|r；最小距离：dmin|PC|r.9.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr，其中d为圆心到直线的距离.(2)
9、当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.若切线所过点(x0，y0)在圆x2y2r2上，则切线方程为x0xy0yr2；若点(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2上，则切线方程为 (x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：AxByC0(A，B不同时为0)与圆C：x2y2DxEyF0(D2E24F0)的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0，是待定的系数.10.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关
10、系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20的交点的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.11.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距
11、离|P1P2|.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况.(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.例1过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则
12、两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.跟踪演练1将直线的方程x2y60：(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距.解(1)将原方程移项得2yx6，两边同除以2，得斜截式yx3，因此它的斜率k，在y轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x2y6，两边同除以6，得截距式1.由方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为6,3.题型二直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合
13、三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例2已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a、b的值.(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直.(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.解(1)l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分别表示为l1(a1)xy0
14、，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.因此或跟踪演练2已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值.解(1)若l1l2，则a1.a1时，l1l2.(2)当l2的斜率不存在时，a1.则l2：x0，l1：x2y60.显然l1与l2不垂直.当l2斜率存在时，a1.则k2，k1.l1l2，k1k21.a.题型三直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关
15、键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.解(1)由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为yk(x
16、4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d1.由点到直线的距离公式得d1，从而k(24k7)0.即k0或k，所以直线l的方程为y0或7x24y280.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，k0，则直线l2的方程为yb(xa).因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|，从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3或(ab8)kab5，因为k
17、的取值范围有无穷多个，所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件.跟踪演练3已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程.解(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y3k(x2)，即kxy32k0.作示意图如图，作MCAB于C.在RtMBC中，|BC|，|MB|2，故|MC|1，由点到直线的距离公式得1，解得k.所以直线l的方程为3x4y60.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，且|AB|2，所以适合题意.综上所述，直线l的方程为3x4y60或x2.题型四与圆有关的最值问题在解决有关直线与
18、圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例4已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任一点.(1)求的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值.解(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率.令k，如图所示，则其最大值、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率.对上式整理得kxyk20，1，k.故的最大值是，最小值是.(2)令ux2y，则u可视为一组平
19、行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得1，解得u2，故x2y的最大值是2，最小值是2.跟踪演练4当曲线y1与直线yk(x2)4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析曲线y1是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线yk(x2)4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为yk0(x2)4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即2，k0.直线PA的斜率为k1.所以，实数k的范围是k.题型五分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成
20、部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例5已知直线l经过点P(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8，求直线l的方程.解圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径r5.当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x4，由题意可知直线x4符合题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y3k(x4)，即kxy4k30.由题意可知2252，解得k，即所求直线方程为4x3y250.综上所述，满足题设的l的方程为x4或4x3y250.跟踪演练5如图，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切
21、.过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程.解(1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.|MN|2，|AQ|1，则由|AQ|1，得k.直线方程为3x4y60.综上，直线l的方程为x2或3x4y60.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为
22、代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.4.初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.