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1、1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)的周期.3.掌握函数ysin x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性知识链接1观察正弦函数图象知正弦曲线每相隔2个单位重复出现,其理论依据是什么?答诱导公式sin(x2k)sin x(kZ)当自变量x的值增加2的整数倍时,函数值重复出现数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律2观察正弦曲线的对称性,你有什么发现?答正弦函数ysin x的图象关于原点对称预习导引1正弦曲线从函数图象看,正弦函数ysin x的图象关于原点对称;从诱导公式看,sin(x)sin_x对
2、一切xR恒成立所以说,正弦函数是R上的奇函数2函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值都满足f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3正弦函数的周期由sin(x2k)sin_x知正弦函数ysin x是周期函数,2k(kZ且k0)都是它的周期,最小正周期是2.要点一求三角函数的周期例1求下列函数的周期:(1)ysin(xR);(2)y|sin 2x|(xR)解(1)方法一令z2x,xR,zR.函数f(x)sin
3、z的最小正周期是2,就是说变量z只要且至少要增加到z2,函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得,而z22x22(x),所以自变量x只要且至少要增加到x,函数值才能重复取得,从而函数f(x)sin(xR)的周期是.方法二f(x)sin的周期为.(2)作出y|sin 2x|的图象由图象可知,y|sin 2x|的周期为.规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期,关键是抓住变量“x”增加到“xT”时函数值重复出现,则可得T是函数的一个周期(2)常见三角函数周期的求法:对于形如函数yAsin(x),0的周期求法通常用公式T来求解对于形如y|Asin x|的周期情况常结合图象法来解决跟踪演
4、练1求下列函数的最小正周期:(1)ysin x;(2)y2sin.解(1)如果令ux,则sin xsin u是周期函数,且最小正周期为2.sinsin,即sinsin x.ysin x的最小正周期是4.(2)2sin2sin,即2sin2sin.y2sin的最小正周期是6.要点二函数周期性的应用例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x时,f(x)sin x,求f的值解f(x)的最小正周期是,fff.f(x)是R上的偶函数,ffsin .f.规律方法解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性,把自变量x的值转化到可求值区间内跟踪演练2若f(x)是以
5、为周期的奇函数,且f1,求f的值解因f(x)是以为周期的奇函数,所以ffff1.要点三函数奇偶性的判断例3判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)sin;(2)f(x);(3)f(x)lg(sin x)解(1)函数的定义域为R,且f(x)sinsincos 2x,显然有f(x)f(x)恒成立函数f(x)sin为偶函数(2)由2sin x10,即sin x,得函数的定义域为(kZ),此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称该函数不具有奇偶性,为非奇非偶函数(3)函数的定义域为R.f(x)lg(sin x)lglg(sin x)f(x),函数f(x)lg(sin x)为奇函数规律方法判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点对称如果是,再验证f(x)是否等于f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数跟踪演练3判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x);(2)f(x).解(1)由得1sin x0时,f(x)x2sin x,求当x0时,f(x)的解析式解设x0,f(x)(x)2sin(x)x2sin x.又f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)x2sin x,f(x)x2sin x,x0,xR)的周期T.2判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对称