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1、2.2.2二次函数的性质与图象学习目标1.会用“描点法”作出yax2bxc(a0)的图象.2.通过图象研究二次函数的性质.3.掌握研究二次函数常用的方法配方法.4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域).知识链接函数yx22x2(x1)21，它的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x1，单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(，1).预习导引1.二次函数(1)定义：函数yax2bxc(a0)叫做二次函数.(2)解析式：一般式：yax2bxc(a0).顶点式：ya(xh)2k，其中(h，k)为顶点.两根式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2为方程ax2bxc0(a0)的根.2.二次函数的性质与
2、图象函数二次函数yax2bxc(a，b，c是常数，a0)图象a0a0性质抛物线开口向上抛物线开口向下对称轴是x对称轴是x在区间(，上是减函数，在区间，)上是增函数在区间(，上是增函数，在区间，)上是减函数当x时，y有最小值，ymin当x时，y有最大值，ymaxb0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数解决学生疑难点要点一二次函数的图象与应用例1画出函数f(x)x22x3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1x21，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)由图象判断x为何值时，y0，y0，y0.解f(x)x22x3(x1)24的图象如图所示.(1)由
3、图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x1且开口向下，且|01|31|，故f(1)f(0)f(3).(2)x1x21，|x11|x21|，f(x1)f(x2).(3)由图可知：当x3或x1时，y0；当x1或x3时，y0；当1x3时，y0.规律方法观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定的符号.另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.跟踪演练1已知二次函数y2x24x6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)由图象判断x为何值时，y0，y0，y0.解(1)由y2x24x62(
4、x1)28，图象如图由图象可知，函数图象开口向上，对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，8).(2)由图象可知，x3，或x1时，y0；x1或x3时，y0；1x3时，y0.要点二二次函数性质及应用例2已知函数f(x)x|x2|.(1)画出函数yf(x)的图象；(2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)(3)已知f(x)，求x的值.解(1)f(x)x|x2|作图如下：(2)单调递增区间(，1，2，)；单调递减区间(1,2)，(3)f(x)，当x2时，x22x，x1或x1(舍去)，当x2时，x22x，x1，x的值为1，1.规律方法二次函数的图象及性质是解决二次函数问
5、题最基本的知识，注意数形结合寻找解题思路.跟踪演练2若函数f(x)(a2)x22x4的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是_.答案(，)解析由题意知，二次函数开口向下且与x轴无交点.即解得a.要点三二次函数最值问题例3(1)当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值.(2)当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值.(3)当x0时，求函数yx(2x)的取值范围.解(1)作出函数的图象，如图(1).当x1时，ymin4；当x2时，ymax5.(2)作出函数的图象如图(2).当x1时，ymax1；当x2时，ymin5.(3)作出函数yx(2x)x22x在x0时的图象，如图(3).可以看出：当x
6、1时，ymin1，无最大值.所以，当x0时，函数的取值范围是y|y1.规律方法求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在m，n上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间外，则f(x)在m，n上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在m，n端点处取得.跟踪演练3求函数yx22x3在区间0，a上的最值，并求此时x的值.解对称轴：x1，抛物线开口向上.(1)当0a1时，函数在0，a上单调递减，当x0时，ymax3；当xa时，ymina22a3.(2)当1a2时，函数在0,1上单调递减，在1，a上单调递增，当x1时，
7、ymin2；当x0时，ymax3.(3)当a2时，函数在0,1上单调递减，在1，a上单调递增，当x1时，ymin2，当xa时，ymaxa22a3.1.函数y32xx2(0x3)的最小值为()A.1 B.0 C.3 D.4答案B解析y32xx2(x1)24，函数在0,1上单调递增，在1,3上单调递减，y32xx2(0x3)的最小值为y323320.2.已知一元二次函数yx22x4，则函数()A.对称轴为x1，最大值为3B.对称轴为x1，最大值为5C.对称轴为x1，最大值为5D.对称轴为x1，最小值为3答案C解析由yx22x4(x1)25，知对称轴为x1，最大值为5.3.二次函数f(x)a2x24
8、x1的顶点在x轴上，则a的值为()A.2 B.2C.0 D.2答案D解析由0即164a20得a24，故a2.4.下列区间中，使函数y2x2x为增函数的是()A.R B.2，)C. D.答案D解析函数y2x2x22的图象的对称轴是直线x，图象的开口向下，所以函数值在对称轴x的左边是增加的.5.函数f(x)x22x3在区间2,3上最大值与最小值的和为_.答案1解析f(x)(x1)24，f(x)在2,1上单调递增，在1,3上单调递减，f(x)max4，f(x)minf(2)5，541.1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.