2022年点、直线、圆与圆位置关系—知识讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 点、直线、圆与圆的位置关系学问讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2. 懂得切线的判定定理、性质定理和切线长定理,明白三角形的内切圆和三角形的内心的概念,并娴熟掌握以上内容解决一些实际问题题；3. 明白两个圆相离 外离、内含 ,两个圆相切 外切、内切 ,两圆相交,圆心距等概念懂得两圆的位解置关系与d、r 1 、r 2等量关系的等价条件并灵活应用它们【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系 1点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在,就把平面上的点分成了三个集合,即圆内的点,圆上的点和圆外的点,这三类点各具有

2、 相 同 的 性 质 和 判 定 方 法 ； 设 O的 半 径 为r , 点P到 圆 心 的 距 离 为d , 就 有2三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角 形的外心 . 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 . 要点诠释：（ 1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（ 2）不在同始终线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系1直 线 和 圆 的 三 种 位 置 关 系：1 相 交 ： 直 线 与 圆 有 两 个 公 共 点

3、 时 , 叫 做 直 线 和 圆 相 交 这 时 直 线 叫 做 圆 的 割 线 2 相切：直线和圆有唯独公共点时,叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线,唯独的公共点叫做切点3 相 离：直 线 和 圆 没 有 公 共 点 时,叫 做 直 线 和 圆 相 离2直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 判 定 和 性 质直 线 与 圆 的 位 置 关 系 能 否 像 点 与 圆 的 位 置 关 系 一 样 通 过 一 些 条 件 来 进 行 分 析 判 断 呢 ？由于圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,因此讨论直线和圆的位置关系,就可以转化为直线和点 圆心 的位置关系下面图 1 中直线与圆心的距离小

4、于半径；图 2 中直线与圆心的距离等于半径；图 3 中直线与圆心 的 距 离 大 于 半 径如 果O 的 半 径 为 r,圆 心 O 到 直 线 的 距 离 为 d,那 么名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边就是直线与圆的位置关系的判定要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点,二是直线与过交点的半径垂直,缺

5、一不行 . 2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 . 3切线长：经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长 . 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长,不是“ 切线的长” 的简称. 切线是直线,而非线段. 4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 . 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等 . 5三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 . 6三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心 . 三角形的内心到三边的距离都相等 . 要点

6、诠释：1 任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有很多个外切三角形；2 解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即S 为三角形的面积,P 为三角形的周长,r 为内切圆的半径. 3 三角形的外心与内心的区分：名称确定方法图形性质外心 三角形三角形三边中垂线的1 到三角形三个顶点的距外接圆的圆交点离相等,即OA=OB=OC；2心 三角形三条角平分线外心不肯定在三角形内部内心 三角形1 到三角形三边距离相要内切圆的圆四的交点、圆五和种圆位的等； 2OA、 OB、OC分别平系心 分 BAC、 ABC、 ACB；3 内心在三角形内部. 点位置

7、关1圆与圆的置关系的定义两 圆 外 离 ： 两 个 圆 没 有 公 共 点 , 且 每 个 圆 上 的 点 都 在 另 一 个 圆 的 外 部 时 , 叫 做 这 两 个 圆 外 离 . 两圆外切：两个圆有唯独公共点,并且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 名师归纳总结 第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两圆相交：两个圆有两个公共点时,叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯独公共点,并且除了这个公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共

8、点叫做切点. 两 圆 内 含 ： 两 个 圆 没 有 公 共 点 , 且 一 个 圆 上 的 点 都 在 另 一 个 圆 的 内 部 时 , 叫 做 这 两 个 圆 内 含 . 2两圆的位置与 两 圆 的 半 径、圆 心 距 间 的 数 量 关 系：设 O1 的 半 径 为 r1 , O2 半 径 为 r2 ,两 圆 心 O1O2 的 距 离 为 d , 就 ：两 圆 外 离 dr 1+r 2两 圆 外 切 d=r 1+r 2两 圆 相 交 r1-r2dr1+r2 r1r2 两 圆 内 切 d=r1-r 2 r1r2 两 圆 内 含 dr 1-r 2 r 1r 2 要 点 诠 释：1 圆与圆的

9、位置关系,既考虑它们公共点的个数,又留意到位置的不同,如以两圆的公共点个数 分类,又 可 以 分 为：相 离 含 外 离、内 含 、相 切 含 内 切、外 切 、相 交；2 内 切、外 切 统 称 为 相 切,唯 一 的 公 共 点 叫 作 切 点；3 具 有 内 切 或 内 含 关 系 的 两 个 圆 的 半 径 不 可 能 相 等 , 否 就 两 圆 重 合 . 【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1. 已知圆的半径等于. 5 cm,依据以下点P 到圆心的距离：14 cm ；25 cm ；36 cm ,判定点P 与圆的位置关系,并说明理由【答案与解读】（ 1）当 d=4 cm 时, d r

10、 ,点 P 在圆内；（2）当 d=5 cm 时, d=r,点 P 在圆上；（3）当 d=6 cm 时, d r ,点 P 在圆外 . 【总结升华】 利用点与圆的位置关系,由点到圆心的距离与半径的大小比较 .举一反三：【变式】 点 A 在以 O为圆心, 3 为半径的O 内,就点【答案】 0d 3. 类型二、直线与圆的位置关系A 到圆心 O的距离 d 的范畴是 _. 名师归纳总结 2在 Rt ABC中, C=90 , AC=3厘 M, BC=4厘 M,以 C 为圆心, r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

11、- 系？为什么？ 1r=2厘 M； 2r=2.4厘 M； 3r=3厘 M【答案与解读】过 C点作 CDAB于 D,在 Rt ABC中, C=90 , AC=3,BC=4,得 AB=5, AB CD=AC BC ,CD=ACBC=354=2.4cm,AB（1）当 r =2cm 时 CDr ,圆 C与 AB相离；（2）当 r=2.4cm 时, CD=r,圆 C与 AB相切；3 ）当 r=3cm 时, CDr ,圆 C与 AB相交【总结升华】 欲判定 C 与直线 AB 的关系,只需先求出圆心C 到直线 AB 的距离 CD 的长,然后再与r 比较即可举一反三：【变式】 如图, P 点是 AOB的平分线

12、 OB相切；OC上一点, PEOA 于 E,以 P 为圆心, PE 为半径作 P . 求证： P 与【答案】 作 PFOB于 F,就可证明OEP OFP,所以 PF=PE,即 F 在圆 P 上,故 P与 OB相切；3如下列图,在 Rt ABC中, B90 , A 的平分线交 BC于 D,以 D为圆心, DB长为半径作 D求证： AC是 D的切线【答案与解读】过 D作 DFAC于 F B90 , DB AB又 AD平分 BAC, DF BD半径 AC 与 D相切名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【总结升华】假如已知条件

13、中不知道直线与圆有公共点,其证法是过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长 等于半径的长即可可简记为：作垂直,证半径类型三、圆与圆的位置关系4 1 已知两圆的半径分别为3cm,5cm,且其圆心距为7cm,就这两圆的位置关系是 A外切 B 内切 C相交 D相离 2 已知 O1 与 O2相切, O1的半径为 3cm, O2 的半径为 2cm,就 O1O2 的长是 A 1cm B 5cm C 1cm 或 5cm D 0. 5cm 或 2. 5cm 【答案】 （1） C ； （ 2）C.【解读】 1 由于圆心距 d7cm,R+r 5+38cm,R- r5-32cm R- rdR+r ,故这两圆的位置关系

14、是相交 2 两圆相切包括外切和内切,当O1 与 O2 外切时, dO1O2R+r 3+25cm；当 O1与 O2 内切时, dO1O2R- r 3- 21cm 【总结升华】 由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离dR+r ；两圆外切dR+r；两圆相交R- rdR+r ；两圆内切dR- r；两圆内含dR- r点、直线、圆与圆的位置关系巩固练习（基础）【巩固练习】一、挑选题1. 已知：如图, PA,PB分别与 O相切于 A,B 点, C为 O上一点, ACB=65 ,就 APB等于 A 65B50C45 D402如图, AB是 O的直径,直线EC切 O于 B 点,如 DBC= ,就 A

15、A= B A=90 C ABD= DABD90o12第 1 题图第 2 题图3设O 的半径为3,点 O 到直线l的距离为d,如直线l与O 至少有一个公共点,就d 应满意的条件是 A.d=3 B. d3 C. d3 D.d3 4在 Rt ABC中, C=90 , AB=10, AC=6,以 C为圆心作C A.8 B.4 C.9.6 D.4.8 和 AB相切,就C 的半径长为 5已知O1和O2 的半径分别为 1 和 5,圆心距为 3,就两圆的位置关系是 A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含6已知： A,B,C,D,E 五个点中无任何三点共线,无任何四点共圆,那么过其中的三点作圆,最多能作

16、出 B8 个圆C10 个圆D 12 个圆A5 个圆二、填空题名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7锐角三角形的外心在三角形的 _部,钝角三角形的外心在三角形的 _部,直角三角形的外心在 _ 8如 ABC中, C=90 , AC=10cm,BC=24cm,就它的外接圆的直径为 _9如 ABC内接于 O,BC=12cm, O点到 BC的距离为 8cm,就 O的周长为 _10如下列图,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦是小圆的切线,C 为切点,如两圆的半径分别为3cm 和5cm,就 AB的长为 _cm11. 如下列图,已知

17、直线 AB 是 O 的切线, A 为切点, OB交 O 于点 C,点 D 在 O 上,且 OBA40 ,就ADC_第 10 题图第 11 题图第 12 题图12如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是 的距离是 _. 三、解答题1 m 的水泥管,两两相切地堆放在一起,其最高点到地面13. 如下列图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的 O 经过点 D,E 是 O上一点,且 AED45 ,试判定 CD与 O的关系,并说明理由14 AB 是 O的直径, BC切 O于 B,AC交 O于 D点,过 D作 O的切线 DE交 BC于 E. 求证： CE=BE. 15如下列图, AB是 O 的直径,

18、 P 为 AB延长线上任意一点,AB于点 E,求证： PD PE【答案与解读】C为半圆 AB 的中点, PD切 O于点 D,连 CD交一、选择题1. 【答案】 B；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解读】连结 OA、OB,就 AOB=130 , PAO=PBO=90 ,所以 P=50 . 2. 【答案】 A；【解读】 AB是 O的直径, ADB=90 , A+ABD=90 ,又 直线 EC切 O于 B 点, +ABD=90 , A= ,应选 A. 3. 【答案】 C；【解读】直线l 可能和圆相交或相切. 4. 【答

19、案】 D；【解读】作CDAB 于 D,就 CD为C 的半径, BC=AB2AC2=2 102 6=8,由面积相等,得AB CD=AC BC.CD=68=4.8. 105. 【答案】 D；【解读】内切、外切分别对应d=Rr , d=Rr ,它们起着分界作用. 在O 1 和O 2 相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系,圆心距逐步变小,而相内切和外切起着分界作用,所以先运算 dr 和 dr ,由于圆心距 6. 【答案】 C. d=3R r ,所以“ 内含” .【解读】过其中的三点作圆,最多能作出10 个,即分别过点ABC、ABD、ABE、 ACD、ACE、ADE、BCD、BCE

20、、BDE、CDE的圆 . 二、填空题7【答案】 内,外,它的斜边中点处8【答案】 26cm9【答案】 20 cm10【答案】 8. 【解读】由于 AB切小 O于 C,连 OA、 OC,如图,由切线的性质知 OCAB,又由垂径定理得 ACBC,在 Rt AOC中, AO5,OC3 AB 2AC8cm 11【答案】 25 . 【解读】 OAAB, OBA40 , BOA 50 , ADC1BOA25 . 212【答案】 1+ 3 m. 2【解读】由于三个圆两两外切,所以圆心距等于半径之和,所以三个圆心为顶点的三角形是边长为 1 m 的等边三角形,最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径. 3

21、m. 2等边三角形的高是1 -2（ ）1 22=3,故最高点到地面的距离是1 2三、解答题名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13. 【答案与解读】CD与 O相切理由：如图,连 OD就 AOD2AED2 45 90 四边形 ABCD是平行四边形, AB DC CDO AOD90 , OD CD, CD 与 O相切14. 【答案与解读】证 法 1: 连 结 DB. AB 是 直 径 , ADB=90 . BDC=90 .BC 、DE 是切线,BE=ED. EBD= EDB . EBD+ C=90 ,且 EDB+EDC=9

22、0,EBD+C= EDB+EDC.C = . BE=EC. 证法 2：连结 OD 、OE. DE 切 O 于 D, OD DE. ODE=90 . 同 理B=90 .OB=OD ,且 OE=OE ,ODE OBE. BOE= EOD . BOE= A . OE AC.O 是 AB 中 点,E 是 BC 中 点 . BE=EC. 15. 【答案与解读】连 OC、OD, C 是半圆 ACB的中点, BOC90 ,又 PD切 O于 D, PDO90 PDE90 - ODE, PED CEO90 - C, OC OD, C ODE PDE PED, PE PD名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页