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点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；
2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练
掌握以上内容解决一些实际问题；
3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位
置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
【要点梳理】
要点一、点和圆的位置关系
1．点和圆的三种位置关系：
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有
2．三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
要点诠释：
（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；
（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
要点二、直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
要点诠释：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
3．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
4．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
5．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
6．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
要点四、圆和圆的位置关系
1．圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.
2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离 d＞r1+r2
两圆外切 d=r1+r2
两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2)
两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2)
要点诠释：
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
【典型例题】
类型一、点与圆的位置关系
1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.
【答案与解析】
（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；
（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；
（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.
【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.
举一反三：
【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.
【答案】0≤d＜3.
类型二、直线与圆的位置关系
2．在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米
【答案与解析】
过C点作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90， AC=3，BC=4，得AB=5，
，∴ABCD=ACBC，
∴(cm)，
（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；
（2）当r= 2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；
(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．
【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．
举一反三：
【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。
【答案】作PF⊥OB于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故⊙P与OB相切。
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．
【答案与解析】
过D作DF⊥AC于F．
∵ ∠B＝90，∴ DB⊥AB．
又AD平分∠BAC，
∴ DF＝BD＝半径．
∴ AC与⊙D相切．
【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．可简记为：作垂直，证半径．
类型三、圆与圆的位置关系
4．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm
【答案】（1）C ； （2）C.
【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．
∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．
(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；
当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．
【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d＝R+r；③两圆相交R-r＜d＜R+r；④两圆内切d＝R-r；⑤两圆内含d＜R-r．
点、直线、圆与圆的位置关系—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB=65，则∠APB等于( )．
A．65 B．50 C．45 D．40
2．如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC=α，则( )．
A．∠A= αa B．∠A=90－αa C．∠ABD= αa D．∠
第1题图 第2题图
3．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( )
A.d=3 B. d＜3 C. d≤3 D.d＞3
4．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为( )
A.8 B.4 C.9.6 D.4.8
5．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是( )
A.相交 B. 内切 C. 外切 D.内含
6．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
二、填空题
7．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的_____________部，
直角三角形的外心在________________．
8．若△ABC中，∠C=90，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．
9．若△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，则⊙O的周长为___________．
10．如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为__________cm．
11.如图所示，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40，则∠ADC＝________．
第10题图 第11题图 第12题图
12．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是_________.
三、解答题
13. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45，试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．
14． AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D点，过D作⊙O的切线DE交BC于E.求证：CE=BE.
15．如图所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆的中点，PD切⊙O于点D，连CD交AB于点E，求证：PD＝PE．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】连结OA、OB，则∠AOB=130，∠PAO=∠PBO=90，所以∠P=50.
2.【答案】A；
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90，∠A+∠ABD=90，
又 ∵直线EC切⊙O于B点，∴α+∠ABD=90，∴∠A=α，故选A.
3.【答案】C；
【解析】直线l可能和圆相交或相切.
4.【答案】D；
【解析】作CD⊥AB于D，则CD为⊙C的半径，BC===8，
由面积相等，得ABCD=ACBC.
∴CD==4.8.
5.【答案】D；
【解析】内切、外切分别对应d=R＋r，d=R－r，它们起着分界作用.在⊙O1和⊙O2相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算d＋r和d－r，因为圆心距d=3＜R－r，所以“内含”.
6.【答案】C.
【解析】过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆.
二、填空题
7．【答案】内，外，它的斜边中点处．
8．【答案】26cm．
9．【答案】20πcm．
10．【答案】8.
【解析】因为AB切小⊙O于C，连OA、OC，如图，
由切线的性质知OC⊥AB，又由垂径定理得AC＝BC，
在Rt△AOC中，AO＝5，OC＝3．
∴ AB＝2AC＝8(cm)．
11．【答案】25.
【解析】∵OA⊥AB，∠OBA＝40，
∴ ∠BOA＝50，
∴ ∠ADC＝∠BOA＝25.
12．【答案】(1+) m.
【解析】由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长
为1 m的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.
等边三角形的高是，故最高点到地面的距离是(1＋) m.
三、解答题
13.【答案与解析】
CD与⊙O相切．
理由：如图，连OD．
则∠AOD＝2∠AED＝245＝90．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥DC．
∴ ∠CDO＝∠AOD＝90，
∴ OD⊥CD，
∴ CD与⊙O相切．
14.【答案与解析】
证法1:连结DB.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90.
∴∠BDC=90.
∵BC、DE是切线，
∴BE=ED.
∴∠EBD=∠EDB.
∵∠EBD+∠C=90，且∠EDB+∠EDC=90，
∴∠EBD+∠C=∠EDB+∠EDC.
∴∠C =∠EDC.
∴ED=EC.
∴BE=EC.
证法2：连结OD、OE.
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE.
∴∠ODE=90.
同理∠B=90.
∵OB=OD，且OE=OE，
∴△ODE≌△OBE.
∴∠BOE=∠EOD.
∴∠BOE=∠A.
∴OE∥AC.
∵O是AB中点，
∴E是BC中点.
∴BE=EC.
15.【答案与解析】
连OC、OD，
∵ C是半圆ACB的中点，
∴ ∠BOC＝90，又PD切⊙O于D，
∴ ∠PDO＝90．
∴ ∠PDE＝90-∠ODE，∠PED＝∠CEO＝90-∠C，
∵ OC＝OD，
∴ ∠C＝∠ODE．
∴ ∠PDE＝∠PED，
∴ PE＝PD．
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