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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载直线与圆的位置关系学问点一、直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的定义: ,这时直线叫做圆的割线. 1相交 : 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交2相切 : 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点 . 3相离 : 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特点 : 设 O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和 O 相交 . d=r 直线 L 和 O 相切 . dr 直线 L 和 O 相离 . 3. 切线的总
2、判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线 . 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 . 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 . 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 ,可得如下结论 : 假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个 ,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 .注：证明直线是圆的切线的方法：已知点在圆上,连半径证垂直；未知点在圆上,作垂直证垂线段的长度等于圆的半径； 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念 . 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
3、 ,内切圆的圆心叫做三角形的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形 . 6. 三角形内心的性质 : 1三角形的内心到三边的距离相等 . 2过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 . 由此性质引出一条重要的帮助线 : 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 . 补充 （只做明白）1. 圆的外切四边形两组对边和相等2. 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角4. 相交弦定理： 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等5. 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到
4、割线与圆交点的两条线段长的比例中项推论： 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等与圆有关的帮助线名师归纳总结 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距 ,或过弦的一端作半径为帮助线. . 第 1 页,共 9 页2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角. 3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径或直径 为帮助线 . 4.如条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的帮助线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、练习题一、挑选题1、（ 2022 济宁）、如图,以等边三角形ABC 的 BC 边为直径画半圆,
5、分别交AB 、AC 于点E、D,DF 是圆的切线,过点F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G如 AF 的长为 2,就 FG 的长为A 4 B33C6 D232、20XX 年山东东营 如图,四边形ABCD 为菱形, AB=BD ,点 B、C、D、G 四个点在同一个圆 O 上,连接 BG 并延长交 AD 于点 F,连接 DG 并延长交 AB 于点 E,BD 与 CG 交于点 H,连接 FH,以下结论： AE=DF ； FH AB ； DGH BGE ； 当 CG 为 O 的直径时, DF=AF 其中正确结论的个数是（D）C3 D4 DA1 B2 3、20XX 年山东东营 如图,已知扇形的圆心角为6
6、0,半径为,就图中弓形的面积为（）CA；B4、（20XX 年山东泰安） 如图,P 为 O 的直径 BA 延长线上的一点,PC 与 O 相切,切点为C,点 D 是上一点,连接PD已知PC=PD=BC 以下结论：（1）PD 与 O 相切；（2）四边形 PCBD 是菱形；（ 3）PO=AB ；（ 4）PDB=120 其中正确的个数为（）D 1 个D A4 个B3 个C 2 个5、（ 2022 济南）如图,O的半径为 1,ABC 是O的内接等边三角形,A 点 D,E 在圆上,四边形BCDE 为矩形,这个矩形的面积是E A2 B3C3D3B O C 22第 5 题图名师归纳总结 - - - - - -
7、-第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载B5,C 6、如图,已知 AD 是 ABC 的外接圆的直径, AD =13 cm,cos13就 AC ）B 6 cm A B D 的长等于（A5 cm C10 cmD 12 cm （第 6 题）7、如图,在等腰直角三角形ABC中, AB=AC=8,O为 BC的中点,以 O为圆心作半圆,使它与 AB,AC都相切,切点分别为 D,E,就O的半径为（）A8 B6 C5 D4 8、（2022 佛山）如图, AB 为半圆 O 的直径, AD 、BC 分别切 O 于 A、B 两点, CD 切 O于点 E,AD 与 C
8、D 相交于 D,BC 与 CD 相交于 C,连接 OD 、OC,对于以下结论： OD2=DE .CD； AD+BC=CD ； OD=OC ； S梯形 ABCD=CD.OA ； DOC=90 ,D 其中正确选项（）A B C 9、（ 2022 泸州）如图,在平面直角坐标系中,P 的圆心坐标是（ 3,a）（a3）,半径为 3,函数 y=x 的图象被 P 截得的弦 AB 的长为,就 a 的值是（）A 4BCD10、2022 武汉 如图, PA、PB 切O 于 A、B 两点, CD 切O 于点 E 交 PA、PB 于 C、D,如 O 的半径为 r,PCD 的周长等于3r,就 tanAPB 的值是（）2
9、13A513B12C313D12553二、填空题1、（ 20XX 年湖南湘潭）如图,O 的半径为 3,P 是 CB 延长线上一点,PO=5,PA 切 O于 A 点,就 PA=2、（20XX 年山东泰安） 如图,AB 是半圆的直径, 点 O 为圆心, OA=5 ,弦 AC=8 ,ODAC ,垂足为 E,交 O 于 D,连接 BE设 BEC= ,就 sin 的值为O A C B 第 3 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、（ 2022 济南）如图, AB 与O学习必备欢迎下载B,O的半径为 6,AB16,就 OA相
10、切于 C,A的长 =4、（ 2022.成都）如图, AB 是 O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上, CD 切 O 于点 D,连接 AD 如 A=25 ,就 C= 度5、如图, MN 为 O 的直径, A、B 是 O 上的两点,过A 作 AC MN 于点 C,过 B 作BDMN 于点 D,P 为 DC 上的任意一点,如 MN=20 ,AC=8 ,BD=6 ,就 PA+PB 的最小值是 _7、如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原动身位置时,就这个圆共转了（）8、（ 2022 济南）如图,在Rt ABC
11、 中, B=90 , AB=6 ,BC=8,以其三边为直径向三角形外作三个半圆,矩形 EFGH的各边分别与半圆相切且平行于 AB 或 BC,就矩形 EFGH 的周长是_9、（ 2022 山东济南, 21,3 分）如图, ABC 为等边三角形,AB=6,动点 O 在 ABC 的边上从点A 动身沿着 ACBA 的路线匀速运动一周,速度为 1 个长度单位每秒,以 O 为圆心、3 为半径的圆在运动过程中与 ABC 的边其次次相切时是动身后第 秒10、（2022 陕西）已知一个直角三角形的面积是 的半径是三解答题12,周长为 122,就直角三角形的外接圆名师归纳总结 1、如图,四边形ABCD 内接于 O
12、, BD 是 O 的直径, AECD ,垂足为 E , DA 平第 4 页,共 9 页分BDE A E （1）求证： AE 是 O 的切线；（2）如DBC30,DE1cm,求 BD 的长D B O C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、（ 2022 荆门）如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 是 BC 的中点, P 是线段 MC 上的一个动点 （不与 M 、C 重合）,以 AB 为直径作 O,过点 P 作 O 的切线, 交 AD 于点 F,切点为 E（1）求证： OF BE；（2）设 BP=x,AF=y ,求 y 关于
13、 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范畴；（3）延长 DC、FP 交于点 G,连接 OE 并延长交直线 DC 与 H（图 2）,问是否存在点 P,使 EFO EHG （E、F、O 与 E、 H、 G 为对应点）？假如存在,试求（2）中 x 和 y 的值；假如不存在,请说明理由3、（ 2022.临沂）如图,已知等腰三角形ABC 的底角为 30,以 BC 为直径的 O 与底边 AB交于点 D,过 D 作 DEAC,垂足为 E（1）证明： DE 为 O 的切线；（2）连接 OE,如 BC=4,求 OEC 的面积名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - -
14、 - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、20XX 年山东东营 如图, AB 是 O 的直径, OD 垂直于弦 AC 于点 E,且交 O 于点 D,F 是 BA 延长线上一点,如CDB= BFD（1）求证： FD 是 O 的一条切线；（2）如 AB=10 ,AC=8 ,求 DF 的长5、（2022.十堰） 如图 1, ABC 中,CA=CB ,点 O 在高 CH 上,OD CA 于点 D,OECB 于点 E,以 O 为圆心, OD 为半径作 O（1）求证： O 与 CB 相切于点 E；（2）如图 2,如 O 过点 H,且 AC=5 ,AB=6 ,连接 EH,求 BHE 的面积和 ta
15、nBHE 的 值6、（2022 菏泽） 如图, AB是 O 的直径,点C在 0O上,连接BC,AC,作 OD BC与过点 A 的切线交于点D,连接 DC并延长交AB的延长线于点E（1 求证： DE是 O的切线；2 如CE2,求 cos ABC的值DE36 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、（2022 潍坊）如图,在梯形学习必备欢迎下载0,以 AB 为直径作 O,恰与另一腰CDABCD中,AD BC,B=90相切于点 E,连接 OD、OC、BE1 求证： OD BE；2 如梯形 ABCD的面积是 48,设 OD
16、=x,OC=y,且 x+y=14,求 CD的长8、（2022.德州）如图,O 的直径 AB 为 10cm,弦 BC 为 5cm,D、E 分别是 ACB 的平分线与 O,AB 的交点, P 为 AB 延长线上一点,且 PC=PE（1）求 AC、AD 的长；（2）试判定直线 PC 与 O 的位置关系,并说明理由9、（2022.威海）如图,在ABC 中, C=90 , ABC的平分线交 AC于点 E,过点 E 作 BE的垂线交 AB于点 F,O 是 BEF 的外接圆（1）求证： AC是O 的切线（2）过点 E 作 EHAB 于点 H,求证： CD=HF名师归纳总结 - - - - - - -第 7
17、页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10、（2022 济南）如图学习必备欢迎下载A（-3,0）,B（-1,0）,与1,抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点y 轴相交于点C, O1 为 ABC 的外接圆,交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求 cosCAB 的值和 O1 的半径；11、（2022 济南）如下列图,菱形ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上,点 A 在点 B 的左侧,点 D 在 y 轴的正半轴上,BAD=60 ,点 A 的坐标为 2,0求线段 AD 所在直线的函数表达式动点 P 从点 A 动身,以每秒 1 个单位长度的速度,根据
18、ADCBA 的次序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t 秒求 t 为何值时,以点P 为圆心、以1 为半径的圆与对角线AC 相切？y C D P AO B x 第 12 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12、（2022 济宁）已知,如图（学习必备欢迎下载1）,在面积为S 的 ABC 中, BC=a,AC=b ,AB=c ,内切圆 O 的半径为 r连接 OA 、OB、OC, ABC 被划分为三个小三角形名师归纳总结 S=S OBC+S OAC+S OAB=BC.r+AC.r+AB .r=（a+b+c）r第 9 页,共 9 页r=（1）类比推理：如面积为S 的四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆）,如图（ 2）,各边长分别为AB=a ,BC=b,CD=c ,AD =d,求四边形的内切圆半径r；（2）懂得应用：如图（3）,在等腰梯形ABCD 中, AB DC ,AB=21 ,CD=11 ,AD=13 ,O1 与 O2 分别为 ABD 与 BCD 的内切圆,设它们的半径分别为r1 和 r2,求的值- - - - - - -