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1、1.3.2函数的极值与导数函数的极值与导数o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y)(4xf)(1xf 【复习复习】已知函数已知函数 f(x)=2x3 - 6x2 + 7, 求求f(x)的单调区间的单调区间,并画出其大致图象并画出其大致图象;0 xy【思考思考】函数函数 f(x)在在 x0 和和 x2 处的函数处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系值与这两点附近的函数值有什么关系?2一、复习与引入一、复习与引入: : 用用“导数法导数法”求函数的求函数的单调性及单调区间的步骤：单调性及单调区间的步骤：( )fx求求( )0( )( )0( )fxf x
2、fxf x 令令，解解不不等等式式的的增增区区间间 令令，解解不不等等式式的的减减区区间间下下结结论论极大值极大值极小值极小值二、新课二、新课函数的极值函数的极值: : 一般地一般地,设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定义及其附近有定义,1.如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点附近所有各点的函数值都大的函数值都大,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个的一个极大值极大值;2.如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函数值都小附近所有各点的函数值都小,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个的一个极小值极小值.极大值与极小值统称极值极大值与极小
3、值统称极值. 在定义中在定义中,取得极取得极值的点称为极值点值的点称为极值点,极极值点是值点是自变量的值自变量的值x0,极值指的是对应的极值指的是对应的函函数值数值f(x0).yxx0f(x)f(x0)x0f(x0) (1)一个函数的极大值在函数的整个定义域内一个函数的极大值在函数的整个定义域内最大最大. （ ）考考你的判断力：考考你的判断力： (2)函数的极值是唯一的函数的极值是唯一的. （ ） (3)函数的极大值一定大于极小值函数的极大值一定大于极小值. （ ） (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间区间的端点不能成为极值点的端点不能成为极值点. （
4、）o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx xy y)(4xf)(1xfo oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx xy y)(4xf)(1xf 如图，函数如图，函数 y=f（x）在）在x1，x2，x3，x4等点的等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？）的导数的符号有什么规律？探索思考：探索思考：o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f
5、(x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？左正右负为极大，左负右正为极小左正右负为极大，左负右正为极小函数的极值与导数函数的极值与导数: : 探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf (x) x3v 若寻找可导若寻找可导函数函数极值点极值点,可否可否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2 当当f (
6、x)=0=0时，时，x =0=0，而而x =0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点. .f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件探索探索 abxy)(xfyO abxy)(xfyO 函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间)(xf导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 A.1
7、 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfAf (x) 0f (x) =0注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别尝试高考尝试高考三、例题选讲三、例题选讲: :例例1:求求y=x3/3-4x+4的极值的极值.解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y y 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值
8、,并且并且,y极小值极小值=- 4/3.+ 028/3 0-4/3+ 求函数求函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(2).求导数求导数).(xf (3).求方程求方程 的根的根.0)( xf(4)检查检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果左正右负如果左正右负, 那么那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极大值极大值;如果左负右正如果左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极小值极小值.)(xf 方法小结：方法小结：(1).确定函数的定义域；确定函数的定义域； 强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值是极大值点还是极小值点就必须判断点就必须
9、判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.(最好通过列表法最好通过列表法)练习练习求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)( )fx+单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26
10、)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) ( )fx+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxx
11、xf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 . x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(
12、-a)=-2a; 当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.例例2:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf a=2.a=2.例例3:3:函数函数 在在 处具有极值，求处具有极值，求a的值的值1( )sinsin33f xaxx3x分析：分析：f(x)f(x)在在 处有极值，根据一点是极值点的必处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，要条件可知
13、， 可求出可求出a a的值的值. .()03f3x1( ) ( sinsin3 )coscos33f xaxxaxx解：解： ，( ) 03f1coscos(3)010332aa 例例4:4:y=alnx+bxy=alnx+bx2 2+x+x在在x=1x=1和和x=2x=2处处有极值，求有极值，求a a、b b的值的值解：解：2( ln)21ayax bxxbxx22103141026 abaabb因为在因为在x=1和和x=2处处,导数为导数为0练习练习1:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1()1(6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变
14、化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 极小值极小值-3 极大值极大值3 因此因此,当当x=-1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-3;而而,当当x=1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3.练习练习2 :已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k,试讨论试讨论k-1成立的
15、充要条件成立的充要条件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是是k
16、-1成立的充要条件成立的充要条件. 解法解法2:分离变量也可通过函数值域求出分离变量也可通过函数值域求出a的范围的范围.(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即2ax3x2-1恒成立，显然当恒成立，显然当x=0时，不等式恒成立时，不等式恒成立当当 时，不等式化为时，不等式化为 令令 1 , 0 x01x 3122axx 3122h( x )x,x 231022h ( x ),x 310 122h( x )xx 在在， 上上 增增3122m axah( x ) = = 1 1反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是
17、是k-1成立的充要条件成立的充要条件. 练习练习3: :下列函数中，下列函数中，x=0 x=0是极值点的函数是极值点的函数 是是( )( ) A.y A.y= =x x3 3 B. B.y y=x=x2 2 C.y C.y=x=x2 2x x D.yD.y=1/x=1/x分析：做这题需要按求极值的三个步分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断它只要判断x x=0=0是否是极值点，只要看是否是极值点，只要看x x=0=0点两侧的导数是否异号就可以了。点两侧的导数是否异号就可以了。B练习练习4 : :下列说法正确的是下列说法正确
18、的是( )( )A.A.函数在闭区间上的极大值一定比函数在闭区间上的极大值一定比 极小值大极小值大B.B.函数在闭区间上的最大值一定是函数在闭区间上的最大值一定是 极大值极大值C.C.对于对于f(x)=xf(x)=x3 3+px+px2 2+2x+1+2x+1，若，若|p|p| ， 则则f(x)f(x)无极值无极值D.D.函数函数f(x)f(x)在区间在区间(a(a，b)b)上一定存在最值上一定存在最值6C.11)(723的取值范围求上有极大值和极小值，在：函数练习axaxxxf求函数求函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:四、课堂小结四、课堂小结: :(2).求导数求导数).(xf (3).求方程求方程 的根的根.0)( xf(4)检查检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果如果左正右负左正右负, 那么那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极大值极大值;如果如果左负右正左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极小值极小值.)(xf (1).确定函数的定义域；确定函数的定义域；