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1、 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 函数的极值与导数函数的极值与导数(1)(1) yxOaby= =f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)观察图像：观察图像：探究探究1.函数函数y=f(x)在在x1 、 x3 、 x2 、 x4等点的函数值等点的函数值 与这些点与这些点附近附近的函数值有什么关系？的函数值有什么关系？2. y=f(x)在这些点的导数值怎样？在这些点的导数值怎样？3. 在这些点在这些点附近附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？的导数的符号有什么规律？yoxdbfcaehg对于对于d点函数点函数y=f(x)在点在点x=d的函数值的
2、函数值f(d)比比在其附近其他点的函数值都小在其附近其他点的函数值都小 。我们把我们把点点d叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值点极小值点，f(d)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值。对于对于e点函数点函数y=f(x)在点在点x=e的函数值的函数值f(e)比比在其附近其他点的函数值都大。在其附近其他点的函数值都大。我们把我们把点点e叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(e)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值。极大值。函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0及及附近附近有定义，有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)
3、f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值. 使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点思考：思考：极值与我们前面学过的最值的概念有什么区别？极值与我们前面学过的最值的概念有什么区别？ 理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定极值点是
4、函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点义域的端点绝不是函数的极值点(3)若若f(x)在在a，b内有极值，那么内有极值，那么f(x)在在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大在某一点的极小值可能大于另一点的极大值值(如图如图(1)(5)若函数若函数f(x)在在a，b上有极值，它的极值点的分上有极值，它
5、的极值点的分布是有规律的布是有规律的(如图如图(2)所示所示)，相邻两个极大值点，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点点之间必有一个极大值点v若寻找若寻找可导函数可导函数极值点极值点,可否只由可否只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ?思考思考: :怎样找函数的极值点？怎样找函数的极值点？探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf (x)= =x3 f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，f (x0) =0 =0 x0 是是可导函数可导函数f(x)的极值点的极
6、值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件是可导函数取得极值的必要不充分条件而x =0不是该函数的极值点. f (x)0 yxOx1aby= =f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:可导函数可导函数极值点两侧导数极值点两侧导数正负符号正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f (x) f(x) xXx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0注
7、意注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点. (3)求求极值点，可以先求极值点，可以先求f (x0) =0的点，的点，再再列表判断单调性列表判断单调性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0练习：练习： 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.( )yfx=( )yf x=abxyx1Ox2x3x4x5x6( )yfx=例例.求函数求函数f(x)
8、=x3- -12x+12的极值。的极值。解： =3x2-12=3(x-2)(x+2)(xf 令 =0)(xf 得得x=2,或或x=- -2当当x变化时，变化时， , f(x)的变化情况如下表；的变化情况如下表；)(xf x (- -,- -2)- -2 (- -2,2)2 (2,+) +0 - -0 +f(x)单调递增单调递增 28单调递减单调递减 - -4单调递增单调递增 )(xf因此，当因此，当x=- -2时，时，f(x)有极大值，有极大值， 并且极大值为并且极大值为f(- -2)=28当当x=2时，时，f(x)有极小值，有极小值，并且极小值为并且极小值为f(2)=- -4 (1)确定函数
9、的定义域，求导数确定函数的定义域，求导数 (2)求方程求方程 的根的根 (3)用方程用方程 的根，顺次将函数的定义的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格域分成若干小开区间，并列成表格. (4)检查检查 在方程根左右的值的符号，如在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取在这个根处取得极小值。得极小值。 f (x) f (x)=0 f (x)=0 f (x)求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：例例2 求函数求函数f(x)2x33(a1)x21(a1
10、)的极的极值值【解【解】由已知得由已知得f(x)6xx(a1)，令令f(x)0，得，得x10，x2a1.当当a1时，时，f(x)6x2，f(x)在在(，)上单调递增，上单调递增，f(x)没有极值没有极值当当a1时，时，f(x)、f(x)随随x的变化情况如下表：的变化情况如下表：由上表可知：当由上表可知：当x0时，时，f(x)有极大值有极大值f(0)且且f(0)1；当当xa1，f(x)有极小值有极小值f(a1)且且f(a1)1(a1)3.综上所述：综上所述：当当a1时，时，f(x)没有极值；没有极值；当当a1时，时，f(x)的极大值为的极大值为f(0)1.x(，0)0(0，a1)a1(a1，)f
11、(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值跟踪训练跟踪训练 若本例中的函数若本例中的函数f(x)2x33(a1)x21，在，在x0处取得极处取得极值求值求a的取值范围的取值范围练习练习.已知函数已知函数f(x)=ax3+bx2- -2x在在x=- -2,x=1 处取得极值：处取得极值：求函数的解析式；求函数的解析式； 解：解： =3ax2+2bx- -2)(xf (1)0f =( 2)0,f =因为因为f(x)在在x=- -2,x=1处取得极值，所以处取得极值，所以 3211( )232f xxxx=所以1312ab=解得解得 =3ax2+2bx-2)(xf 124203220abab=即即f
12、(x)=ax3+bx2-2x经检验符合题意经检验符合题意1.1.下面说法正确的是下面说法正确的是 . .A.A.可导函数必有极值可导函数必有极值B.B.可导函数在极值点的导数一定等于零可导函数在极值点的导数一定等于零C.C.函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）（设极小值、极大值都存在）D.D.函数的极小值（或极大值）不会多于一个函数的极小值（或极大值）不会多于一个B注意：注意： 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质是局部性质. .因此一个函数在其整个定义区间上可能因此一个函数在其整个定义区间上可能有
13、多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值某一点的极大值也可能小于另一点的极小值. .2.2.函数函数y=f(x)的导数的导数y与函数值和极值之间的关系与函数值和极值之间的关系为为 ( )( ) A. A.导数导数y由负变正由负变正, ,则函数则函数y y由减变为增由减变为增, ,且有极大值且有极大值 B.B.导数导数y由负变正由负变正, ,则函数则函数y y由增变为减由增变为减, ,且有极大值且有极大值 C.C.导数导数y由正变负由正变负, ,则函数则函数y y由增变为减由增变为减, ,且有极小值且有极小值 D
14、.D.导数导数y由正变负由正变负, ,则函数则函数y y由增变为减由增变为减, ,且有极大值且有极大值D D象32320 00 03.3.已已知知函函数数f(x)= ax +bx +cxf(x)= ax +bx +cx在在点点x x 处处取取得得极极大大值值5,5,其其导导函函数数y = y = 的的图图( (如如图图) )过过点点（1,01,0）（, 2,0, 2,0）, ,求求：（1 1） x x 的的值值；（2 2）a,b,ca,b,c的的值值；2,9,12abc=解解得得 .2b33ac23a = = = = 或或( )( )f13a2bc0f212a4bc0= = = = = 01x
15、 = =解：解：(1)(1)由图象可知：由图象可知：232(0) axbxca ( )f 1a b c5= = = =(2)(2)注意数注意数形结合形结合 )(xf )(xf 2 2个关键个关键 可导函数可导函数y=f(x)y=f(x)在极值点处的在极值点处的f f(x)=0 (x)=0 . . 极值点左右两边的导数必须极值点左右两边的导数必须异号异号. .3 3个步骤个步骤确定定义域确定定义域求求f f(x)=0(x)=0的根的根并列成表格并列成表格 用方程用方程f f(x)=0(x)=0的根，顺次将函数的定义域的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格由分成若干个开区间，并列成表格由f f(x)(x)在方程在方程根左右的符号，来判断根左右的符号，来判断f(x)f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况. .