《2022年数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案.docx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学物理方程模拟试题一、填空题（ 3 分 10=30 分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（）,说明边界上的约束情形的条件叫（）,二者统称为（）. S 为边2.三维热传导齐次方程的一般形式是： （） . 3 .在平面极坐标系下,拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件uuSf是第（）类边界条件,其中n界. 5.设函数ux,t的傅立叶变换式为U,t,就方程2ua22u的傅立叶t2x2变换为 （） . ）. 6.由贝塞尔函数的递推公式有dJ0x（） . dx7.依据勒让德多项式的表达式有2P 2x1P 0x= （338.运算积分1P 2x2dx（）
2、 . 19.勒让德多项式P 1x的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分别变量法求以下定解问题（30 分）：名师归纳总结 1.uux2u222u0,0x0 ,3tx030 ,第 1 页,共 5 页t2x20 ,u03ut03x,t0xt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.uut002u, 0xu,4t40,tx2x,0xx02u3. 2u222 u16 ,0xx2,t,80（10 分）2 tux2u,0x02uut0t0,0 0x2t三、用达朗贝尔公式求解以下一维波动方程的初值问题2 2u2 a 2 u2 cos
3、x , x , t 0t xuu t 0 sin 2 x , t 0 0t四、用积分变换法求解以下定解问题（10 分）：2u ,1 x ,0 y 0x yu x 0 y ,1u y 0 ,1五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10 分）：名师归纳总结 J2xJ0x1J0x第 2 页,共 5 页x六 、 在 半 径 为1 的 球 内 求 调 和 函 数 u , 使 它 在 球 面 上 满 足ur12 cos,即所提问题归结为以下定解问题（10 分） : - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1rr2ur21sinu0 ,0r,10,r2rsinur13co
4、s2,10.此题的 u只与,r有关,与无关 数学物理方程模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件,边值条件,定解条件. 2.ua22u2u2ut2 xy2z23.1u12u0. 224. 三. 5.d2 U. a22 U2. yy02. dt26.J 1x7. 8.x . 2 . 51 . 129.1dx2dx10.ulnxx0二、试用分别变量法求以下定解问题名师归纳总结 1.解 令ux ,tXxTt,代入原方程中得到两个常微分方程：第 3 页,共 5 页T ta2Tt0,Xx Xx0,由边界条件得到X0 X 3 0,2 , 得 到对的 情 况 讨 论 , 只 有 当0 时 才 有 非 零
5、解 , 令2n22为特点值,特点函数Xn x Bnsinn,再解Tt,得到2 33TntC;cos2ntD;sin2 nt,于是n3n3ux ,tn1Cnc2ntDns o2 ntsn xi3s再 由 初 始 条 件 得 到33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Cn233xsinnxdx181 n1,Dn0, 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为303n18 n 1 2 n t n xu x , t 1 cos sin ,n 1 n 3 32. 解 令 u x , t X x T t ,代入原方程中得到两个常微分方程：T t T t 0,X x X
6、x 0,由边界条件得到 X 0 X 4 0,对2 2的情形争论,只有当 0 时才有非零解,令 2,得到 2 n24n 2 2 t为特点值,特点函数 X n x B n sin n,再解 T t ,得到 T n t C n ;e 16,4n 2 2 t于 是 u x , t C n e 16 s i n x n , 再 由 初 始 条 件 得 到n 1 4C n 24 0 42 x sin n4 xdxn 16 1 n 1, 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为n 2 2 tu x , t 16 1 n 1e 16 sin n x,n 1 n 43.解 由于边界条件和自由项均与 t 无关,令
7、u x , t v x , t w x ,代入原 方 程 中 , 将 方 程 与 边 界 条 件 同 时 齐 次 化 ； 因 此2 2v2 4 v2 w x 16 4 w x 16 w x 2 x 2c 1 x c 2,再由边界条t x件有 w 0 0 , w 2 8,于是 c 1 ,8 c 2 0,w x 2 x 28 x .再求定解问题2 2v 2 v2 2 2 , 0 x ,2 t 0t xv x 0 ,0 v x 3 0 ,用分别变量法求以上定解问v t 0 w x , vt t 0 0 , 0 x 2题 的 解 为 v x , t 16 1 n 323 3 1 n1 cos n t
8、sin n x , 故n 1 n n 2u x , t 8 x 2 x 2 16 1 n 323 3 1 n1 cos n t sin n x ,n 1 n n 2三. 解：名师归纳总结 令ux,tv x,twx , 代 入 原 方 程 中 , 将 方 程 齐 次 化 , 因 此第 4 页,共 5 页va22vwx2cosxa2wxcosx0wx 1cosx,再求定解t2x2a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2va22v,t0t2x2问题vt0sin2x1cosxw x ,vt00 ,由达朗贝尔公式得a2t到以上问sin题at1的解为1sin2xa
9、t1cos aatvx ,t2xcosxat0故2a2a2ux ,tsinxcosat1cosxcosatcosx.a2sinxcosat1cosxcosat1a2a2四. 解 ：对 y 取拉普拉斯变换Lux,yUx,p,对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到pdU1,Ux011,解这个微分方程得到dxpp2pUx,p1x11,再取拉普拉斯逆变换有ux,yyxy1p2p2p所以原问题的解为u x,yyxy1. 五. 证明 ：由公式dxnJnx xJ2xnJn1x 有xJnx J2nJnxJ1xJn1x ,令n1dx1J1x ,有xJ 1x ,所以x x又x J1x xJ0x J1x ,J0x J1x ,所以J2x J0x1J0x. x六解：名师归纳总结 由分别变量法,令ur,Rr,得到ur,rnCnrnP ncos,第 5 页,共 5 页0由 边 界 条 件 有ur13cos21CnP ncos, 令c o sx,n0cos22r2,3 2x21 16x22c0P 0xc 1P 1x c2P 2x6x22c0c 1xc2123 x21,2213cos21 6c 00 ,c 1,0c 24,故ur,4r2- - - - - - -